l'image d'un intervalle par une fonction dérivé

Soient I un intervalle de IR, et f une fonction dérivable sur I.

telleque il existe deux réelles a , b (a<b) qui vérifient f ' (a).f '(b) < 0
Montrer qu’il existe c € ]a,b[ tel que f ' (c) = 0

2) Montrer que f '(I) est un intervalle.

C'est le théorème de Darboux, classique


Application :

résoudre y' = [y] (où [] = partie entière)

Bonjour,
On a f est non monotone ( donc non injectif) car sa dérivée change de signe. Il existe alors u et v distincts dans I tels que f(u)=f(v). Le Th. de Rolle donne le résultat.

A+