toujours avec les olymps nationales 2006

salut voila un exo du dernier stage
trouver tous entiers positifs premiersp ,q et r verifiant
p^3=p^2+q^2+r^2
voila

Salut,

p³-p² est toujours pair donc q et r sont tous pairs (i.e q=r= 2 et ça marche pô) ou impairs.

Donc p³-p² = 2 (mod 4) ce qui impose p = 3 (mod 4)

Montrons qu'alors p | q et p | r ce qui imposera p=q=r=3

Si p ne divise pas q par exemple, alors pgcd(p,q) = 1
Soit s = q^(p-2), par Fermat on a : q * s = q^(p-1) = 1 (mod p)

r² = -q² (mod p) et donc (r*s)² = (q*s)² = -1 (mod p)

On a donc trouver un carré u² = -1

Mais u^(p-1) = 1 (par Fermat) = u^((p-1)/2) = -1 et là big blème.

(3,3,3) seule solution.