suite un peu distinguée.

on considere la suite (U_n(x)) definie par :
U_n(x)=SIGMA (k varie de 0 juska n ) Arctan(x/2^k)

1-montrer que (U_n) converge.
on note g(x) la limite de (U_n(x))
2-montrer que g est croissante sur IR.
3-montrer qu'elle est continue sur IR

la limite est égale à 2x ^^ poue montrer qu'elle est convergente

pour les autres question c facile vu que g( x)= 2x

comment ça la limite = 2x ?

callo a écrit:

comment ça la limite = 2x ?

on peut facilement calculer la limite de u_n :
lim u_n=lim x(1-(1/2)^n+1)/(1/2)=2x ( à l'aide de suite géométrique )

je crois que tu n'as pas vu Arctan avec cela.

callo a écrit:

je crois que tu n'as pas vu Arctan avec cela.

oui mdr

c'est pour ça que j'ai dit " suite distinguée ", si non je me contredirai avec moi même .

pour 1) utilise que artgx<x donc Un(x)<x*(1+1/2...1/2^n==
x*((1-1/(2^n))/(1-1/2)<2x et puisque Un est croisant donc Un convergente
2) on supose que x>y ===>Un(x)>Un(y)===>lim(un(x)>=lim(Un(y))===>g(x)>g(y)
3) en utilisant x>y===>arctg(x)-arctg(y)<x-y

pour la continuité ça marche pas, enfin, je crois.

on x>y===>artg(x)-artgy<x-y===>0<Un(x)-Un(y)<(x-y)*(1+1/2...(1/2)^n)=(x-y)((1-1/2^n)/(1-1/2)<2(x-y)
et puisque lim(x->y)(2(x-y))=0 donc que soit n lim(Un(x)-Un(y))=0===> lim(lim(Un(x)-Un(y)))=0 x tend vers y
===>lim(f(x)-f(y))=0

callo a écrit:

on considere la suite (U_n(x)) definie par :
U_n(x)=SIGMA (k varie de 0 juska n ) Arctan²(x/2^k)

1-montrer que (U_n) converge.
on note g(x) la limite de (U_n(x))
2-montrer que g est croissante sur IR.
3-montrer qu'elle est continue sur IR

Et bah je trouvge que l'enoncé est faux

mohamed_01_01 a écrit:

pour 1) utilise que artgx<x donc Un(x)<x*(1+1/2...1/2^n==
x*((1-1/(2^n))/(1-1/2)<2x et puisque Un est croisant donc Un convergente
2) on supose que x>y ===>Un(x)>Un(y)===>lim(un(x)>=lim(Un(y))===>g(x)>g(y)
3) en utilisant x>y===>arctg(x)-arctg(y)<x-y

Pour la premier réponse cé faux .

u_(n+1)-u_n=arctan(x/2^(n+1))
si:x>0 alors (u_n(x)) est croissante et dans ce cas
arctan(x/2^n)=<x/2^n => u_n(x) =< x(2-1/2^n)=<2x
donc u_n est majorée donc il est convergente
si:x<0 alors u_n(x) est decroissante et dans ce cas la
arctan(x/2^n) >=x/2^n => u_n(x)>=x(2-1/2^n)>=2x car x <0
donc u_n est convergente en tt cas de x
pour la 2 eme c tros facile
3//
on a g(x)=u_00(x)=(n=0∑+00)arctan(x/2^n)
on a arctan(x/2^n) pour tt n de IN
donc si x ne prend pas la valeur 0 donc quand n est tres grand on a arctan(x/2^n)->0 et ona la somme des fonctions continue est une fonction continue mais si x=0 on va avoir a l'ifinie arctan(0/0)
donc on va etudier la continuité sur 0 et c tros facile