arithmetique

salut !

j'été entrain de resoudre un exercice d'arithemetique et j'ai trouvé un methode resolution differente de celle qui figure dans les solutions , je voudrais m'assurer qu'elle est correcte .

voila l'exo:
resoudre dans Z^3 : 2 x + 3 y + 5 z = 1.

je vé proceder tt d'abord par impliction:

soit (x,y,z)

(x,y,z) est une solution => 2 x + 3 y = 1 - 5 z
( on resouds 2 x' + 3 y' = 1 puis on multiplie par 1+5k )
=> x = (1 + 5 k)(3 k + 1)
y = (1 + 5 k)(1 - 2 k)
z = -k

reciproquement ,en remplacant les termes, l'equation est verifié.

Or dans la solution que monier nous propose ,on procede par l'etude de la parité de y + z:shock: .
merci d'avance pour tout aide possible .

edit : je viens de trouver l'erreur ,j'ai supposé lors d'un passage que 1+5k doit forcement diviser x et y )

pour que le poste soit utile,voila un nouveau exo :

soit(a,b) deux entiers naturels tq ab+1 divise (a^2) + (b^2)

Mque a^2 + b^2) / (ab +1) est un carré parfait .

pr l'equation 2x+3y+5z=1 (*)
on a (*) <=> 2(x+z+1)+3(y+z-1)=0
==> 3/x+z+1 et 2/y+z+1
on distingue les 6 cas suivant:
1) z=6a alors x=3b-1 et y=2c+1
si on remplace ds (*) on trouve b+c+5a=0 dou c=-b-5a
cad la 1ere solu est (3k'-1,-10k-2k'+1,6k)
2)z=6a+1 alors x=3b+1 et y=2c
si on remplace on trouve b+c+5a=-1 dou c=-b-5a-1
cad la 2eme solu est (3k'+1,-10k-2k'-2,6k+1)
3)z=6a+2
...et ainsi de suite
quand vs allez terminer les 6 cas vs trouverez
S={(3k'-1,-10k-2k'+1,6k);(3k'+1,-10k'-2k-2,6k+1);(3k',-10k'-2k-3,6k+2);
(3k'-1,-10k-2k'-4,6k+3);(3k'+1,-10k'-2k-7,6k+4);(3k',-10k'-2k-8,6k+5)}