inequation déficile à résoudre

slt tout le monde . je suis nouveau parmi vous ( j espere que je suis le bienvenu ) J ais voulu que ma première marticipation soit un vrais casse tête pour vous . Bah voila :
on a : met n deux nombres entiers naturels et on a que :
prouvez que :

"bonne chance"

magic-men a écrit:

slt tout le monde . je suis nouveau parmi vous ( j espere que je suis le bienvenu ) J ais voulu que ma première marticipation soit un vrais casse tête pour vous . Bah voila :
on a : met n deux nombres entiers naturels et on a que :
prouvez que :

"bonne chance"

Bienvenue,
voir i(i.
https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/inegalite-rac7-m-n-1-mn-t1711.htm
a+

malheureusement !!
je rigole serieusement !! l'essentiel est de participer

j ais pas compris la solution mais j en ai une autre plus claire .
" quelqu un peut expliquer l autre solution "

Intéressant, ça change des inégs habituelles !! Merci du cadeau de Noël !

Je pose s7 = sqrt(7)

s7 - m/n = (n*s7 - m)/n = (7n²-m²) / n*(m + n * s7) > 0

Modulo 7 : (7n²-m²) ne vaut jamais -1 ou -2 donc (7n²-m²) >= 3 (7n²-m² != 0)

Ca donne que n*s7 - m >= 3/(m + n * s7)

* si s7/2 < m/n

alors m + n * s7 < 3m et fini

* si s7/2 > m/n

alors s7 - m/n >= s7/2 > 1 >= 1/mn et fini aussi

magic-men a écrit:

j ais pas compris la solution mais j en ai une autre plus claire .
" quelqu un peut expliquer l autre solution "

Citation :

"abdelbaki_attioui"On travaille modulo 7
==> m€{0,1,2,3,4,5,6}
==> m²€{0,1,2,3,4}
==> m²+1€{1,2,3,4,5}
==> m²+2€{2,3,4,5,6}
Donc 7n²>m² ==> 7n²>=m²+3
et m>1 car rac(7) n'est pas rationnel.
7n²>= m²+3>m²+1/m²+2=(m+1/m)²

A+

ton inegalité rac(7)-m/n>1/mn
<==> n.rac(7)>m+1/m
<==> 7n²>m²+1/m²+2 $
la quantité m²+1/m²+2 est majorée par m²+3
alors pour que $ soit verfié il suffit qu il soit 7n²>=m²+3>m²+2£££
ce que tu peux prouver soit a laide de la methode de Mr Abdelbaki ,soit en passant a un raisonnement par disjonction de cas ,
tu montreras en distinguant les cas (m=7k+1,m=7k+2...;m=7k+6) que m²+2 s ecrit sous lune des formes suivantes seulemnt :
7p+2,7p+3,7p+4,7p+5,7p+6. **
tu deduit donc d'aprés ** que m²+2 ne peut po secrire sous la forme7k;ni
7k+1.
et donc m²<7n² ==>m²+1=<7n²==>m²+2=<7n²+1 ^^
sachant que m²+2 ne peut po etre de la forme 7k ni 7k+1
^^ ==> m²+2<7n².£££ est verifiée ce qui equivaut que tn inegalité est verifié aussi.

voila ma version:
on suppose qu il ya un deux nombre m et n sachant que rac7-m/n > 0 et ne réalise par : rac7-m/n>1/mn sa veut dire qu elle rélise rac7-m/n=<1/mn
on a si rac7-m/n=1/mn : rac7=(m²+1)/mn et c est impossible .
on a si rac7-m/n<1/mn : mn*rac7<m²+1
7m²n²<m^4+2m²+1
7m²n²+1=<m^4+2m²+1
7n²=<m²+2
et on a que rac7>m/n ce qui veut dire 7>m²/n²
et alor : m²<7n²=<m²+2 et 7n²=m²+1 ou 7n²=m²+1
on si m²=7k
7n²=7k+2 : 7(n²+k)=2 et c est impossible
et on va continuer de la méme fasson (m²=7k+1 ; m²=7k+2 ; m²=7k+4) et on va trouver que dans tout les cas c est impossible...
au revoire et merci de vos participations ( vous éte vraimants forts et je suis ravi d étre parmi vous )