L'objet de ce problème est de determiner le volume V d'une sphère de rayon R. Pour cela, on commence par calculer le volume de la demi sphère, à l'aide d'un encadrement par deux suites. Jusque là, tout va bien. Continuons
1) Le principe
On subdivise le sgment [O,R] en n segments de même longueur R/n
(pour une meilleure visualisation du problème, me contacter: ibrahim_c7777@hotmail.com)
Bref!
On est alors conduit à considerer n cylindres exterieurs et (n-1) cylindres interieurs. On désigne par Un le volume total des cylindres interieurs et par Vn celui des cylindres exterieurs.
Le volume V vérifie alors Un<=V/2<=Vn
2)Calcul de Un et Vn
a)Montrer que le volume du k-ième cylindre intérieur est:
(n²-k²)(Pi R^3/n^3)
b) Montrer que
Un=Pi R^3/n^3[(n²-1²)+(n²-2²)+...+(n²-(n-1)²)]
Vn=Pi R^3/n^3[(n²-0²)+(n²-1²)+(n²-2²)+...
3)Passage a la limite
a)En utilisant l'égalité:
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
Montrer que:
Un= Pi R^3(4n²-3n-1/6n²) et Vn= Pi R^3(4n²+3n-1/6n²)
b)Etudier les limites de (Un) et (Vn). Conclure our la valeur de V.
Voilà!( interessant non?)
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