Problème de JUIN 2006

Soit continues telles que . Montrer qu'il existent a et b dans [0,1] tels que

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Bonjour;
Solution postée

Bonjour abdelbaki;

Notons F (resp G) la primitive de f (resp g) sur [0,1] qui s'annule en 0.
Il est clair que F (resp G) est un C1 difféomorphisme croissant de [0,1] dans lui même.
Soit alors c (resp d) l'unique élément de ]0,1[ tel que F(c)=1/2 (resp G(d)=1/2).
Si c=d le couple (0,c) est clairement solution de notre problème.
Sinon on peut supposer sans perte de généralité (vu le rôle symétrique que jouent f et g) que c<d.
Définissons alors sur [0,c] les deux applications:
m(x)=F^(-1) (F(x)+1/2) et n(x)=G^(-1) (G(x)+1/2)
il est clair que m et n sont continues strictement croissantes sur [0,c].
d'autre part on a : m(0)=c , m(c)=1 , n(0)=d et n(c)<n(d)=1
et donc que (m-n)(0)<0 et (m-n)(c)>0
le théoréme des valeurs intérmédiaires appliqué à m-n confirme alors l'existence d'un réel a de ]0,c[ tel que m(a)=n(a)=b (élément de ]c,1[)
et il va de soit que le couple (a,b) ainsi determiné est solution de notre problème.
Sauf erreurs bien entendu

bonjour
solution postée

salut abdelbaki attioui c eto
soit F la permitivité de f =>F est strictement croissante
G .......................g=>G est strictement croissante
il est facile de demonter quil existe une fonction u(x) bijective et de linterval (0,,u(0)]vers (u(0),,1]tel que \int_{x}^{u(x)}f(t)dt=1/2 et ( u(u(0))=1)on peut vite verifier
et ..................................v(x)..............................(0,,v(0)].......(v(0),,1).............\int_{x}^{v(x)}g(t)dt=1/2 et ( v(v(0))=1)on peut vite verifier
il suffit de demonter quil existe un point m tel que v(m)=u(m)
____si u(0)=v(0) c est fini
____si u(0)<v(0)
on suppose que pour tout x appartient a (0,,u(0)] u(x)<v(x)
on a F(u(x))-F(x)=G(V(x))-G(x)=1/2==>F(u(x))-G(V(x))=F(x)-G(x)==>F(u(x))-G(u(x))+G(u(x))-G(V(x))=F(x)-G(x)
u(x)<v(x)==>G(u(x))-G(V(x))<0 donc F(x)-G(x)<F(u(x))-G(u(x))
on pose F-G=H ==>H(x)<H(u(x))
donc H(0)<H(u(0))<H(u(u(0)))=H(1) dou F(0)-G(0)<F(1)-G(1): absurde car on a F(0)-G(0)=F(1)-G(1)

absurde; dou ilexiste k te que u(k)>v(k)et en utilisant le theoreme des valeurs intermediaire il existe m tel que v(m)=u(m)
____si u(0)>v(0) meme raisonnement

Bonjour,

Solution postée

--
Patrick

Bonjour,
Appelons F(x), x dans [0,1] l'intégrale de 0 à x de f(t)dt
Appelons G(x), x dans [0,1] l'intégrale de 0 à x de g(t)dt

F et G sont continues et strictement croissantes de [0,1] dans [0,1].

F étant continue, il existe c dans ]0,1[ tel que F(c) = 1/2
1/2+F(x) est continue strictement croissante de [0,c] dans [1/2, 1]
F, continue strictement croissante, est inversible et je peux définir h(x) =
F^[-1](1/2+F(x)) définie continue strictement croissante de [0,c] dans [c,
1].

La fonction k(x) = G(h(x)) - G(x) est continue sur [0,c]
k(0) = G(c) et k(c) = 1-G(c)
Donc k(0) et k(c) sont de part et d'autre (ou égaux) à 1/2.
k(x) étant continue, il existe donc a dans [0,c] tel que k(a) = 1/2

Appelons b = h(a). Alors :
G(b) - G(a) = 1/2 par choix de a
F(b) - F(a) = 1/2 par construction de h(x)

CQFD