exo tres beau

soit : f(x)=x(x-1)(x-2)...(x-2007)
questions
1-determinez f '(2007)
2-combien admet elle cette fct de centres de symetrie
3-et detrminer f'(x)
4-que pensez vous de cette somme ??




essayer de faire toute les questions

yallah ou est ce que vous etes

1-f'(2007)=2007!

abdou20/20 a écrit:

soit : f(x)=x(x-1)(x-2)...(x-2007)
questions
1-determinez f '(2007)
2-combien admet elle cette fct de centres de symetrie
3-et detrminer f'(x)
4-que pensez vous de cette somme ??




essayer de faire toute les questions

BSR à Toutes et Tous !!
Dans cet Exo que j'ai déjà rencontré sur le Forum l'an dernier , il faut penser à quelquechose de très utile , c'est la Dérivée Logarithmique ou dérivée ordinaire de la fonction Ln{|f(x)|} .
A vous de creuser + la chose !!!
A+ LHASSANE

Malheureusement, ils ne connaissent pas encore le logarithme.

Oui,ODL,on a pas encore étudié le logarithme !

3-question je vais trouver f'(x) pour tt x£N

pour tt x£N et 0<=x<=2007

f'(x)=(-1)°(x+1)* x! *(x-2007)!

°(...) = a la puissance

Z-éna a écrit:

Oui,ODL,on a pas encore étudié le logarithme !

Je le conçois bien !!
Essayez de calculer alors f'(x)/f(x) tant que x est dans IR\{0,1,2,..,2007}
et montrer que :
f'(x)/f(x)= SIGMA {1/(x-k) ; k=0,1,2,.....,2007}
et continuez seuls comme des grands ....
A+ LHASSANE

et comment ca ce fait que abdou le sache

BJR à Toutes et Tous !!
C'est un peu compliqué ( mais il est conseillé de se frotter à des exercices de cette nature là ) , alors je vais y aller molo-molo !!!
Je pose :
p0(x)=(x-1).(x-2)........(x-2007)
p1(x)=x.(x-2).(x-3).......................(x-2007)
p2(x)=x.(x-1).(x-3)..........(x-2007)

p2007(x)=x.(x-1).(x-2)..........(x-2006)

d'une manière générale pi(x) est le produit de tous les monômes (x-k) sauf (x-i)
Autrement dit , on a f(x)=(x-i).pi(x) pour chaque i=0,1,2....,2007
Si vous connaissez la généralisation de la DERIVEE d'un PRODUIT de fonctions ( rappelez-vous que pour le produit de 3 fonctions :
Si g=uvw alors
g’=u’vw + uv’w + uvw’ )
Alors alors on peut écrire :
f'(x)=p0(x)+p1(x)+p2(x)+.........+p2007(x)
Maintenant , notez que pour i fixé variant de 0 à 2007
Tous les polynômes pj(x) s’annulent en i sauf pi(x) , il sera donc facile de calculer f’(i) , c’est exactement
f’(i)=pi(i)
=i.(i-1).(i-2)……(i-(i-1)).(i-(i+1))……..(i-2007)
=i!.(-1).(-2).(-3)………..(i-2007)
=(-1)^(2007-i).i!.(2007-i)!=(-1)^(2007-i).{2007!/C(2007;i)}
En particulier f’(2007)=(2007)!
Quant à la somme :
SIGMA {1/f’(i) ; i=0…….2007} ; elle vaut après remplacement
1/(2007)!.SIGMA {(-1)^(2007-i).C(2007;i) ; i=0…….2007}
={1/(2007)!}.{1+(-1)}^2007=0
A+ LHASSANE

Re-BJR !!
Si vous trouvez ma méthode corsée , alors vous pouvez calculer directement la dérivée comme limite d'un quotient différentiel
pour chaque i=0,1,2.........,2007 fixé
f'(i)=Lim{f(x)-f(i)}/{x-i)} lorsque x--->i x<>i
Or f(x)=x.(x-1).(x-2)........(x-i)........(x-2007)
et f(i)=0
donc
f'(i)=Lim{x.(x-1).(x-2)......(x-(i-1).(x-(i+1)).......(x-2007)
=i.(i-1).(i-2)........1.(-1).(-2)........(-(2007-i))
puis finaliser les calculs comme dans mon post précédent .
A+ LHASSANE