trés beau mais dangereux

trouver toutes les fonctions f:IR---->IR telle que:
f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1 et f(x)f(1/x)=1.

khadija-daria a écrit:

trouver toutes les fonctions f:IR---->IR telle que:
f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1 et f(x)f(1/x)=1.

Je ne suis pas interessé par eq functionnelles . sauf si je suis stupide mais je crois que ton exo est trivial , car f(x+y)=f(x)+f(y) est l'équation additive de cauchy dont les solutions sont f(x)=ax .... enfin on trouve que f(x)=Id
A+

ben f n'est pas supposé dérivable;le problème ;tout le problème;c'est le passage de Q à IR ,apparemment on a f(x)=x
pour tout x£Q.mais pour IR,il faut penser...

Trés connue et deja posté dans le forum f|Q=Id ,pr le passage au reel nn rationnels , montrons que f est croissante sur R :
f(1/t(1-t))=f(1/t)+f(1/(1-t))=[f(t)+f(1-t)]/f(t)f(1-t)
==>f(t)-f(t²)f(t(1-t))=f(t)f(1-t)=f(t)(1-f(t))
==>(f(t))²=f(t²)
donc x>y --> f(x)-f(y)=f(rac(x-y)²)=(f(rac(x-y))²>=O
, mnt tt irrationel est limite dune suite d'elemnts de IR-Q
soit x irrationnel et (sn) et (tn) deux suites de Q^N , tq; sn<x<tn et cv-->x.
par croissance de f ==> sn<f(x)<tn passage a la limite n-->+OO donne f(x)=x
reciproquement l'IdR convient bien.
A+

https://mathsmaroc.jeun.fr/equations-fonctionnelles-f10/jolie-equation-fonctionnelle-t4311.htm

juste une petite remarque pour selrespect,peut on pazasser de Q à IR en montrant que f est bornée car je pense que la condition f(x)f(1/x)=1 implique que f est bornée...je vais voire mais bon ton idée est pertinente.

boukharfane radouane a écrit:

juste une petite remarque pour selrespect,peut on pazasser de Q à IR en montrant que f est bornée car je pense que la condition f(x)f(1/x)=1 implique que f est bornée...je vais voire mais bon ton idée est pertinente.

Merçi , je pense que tu veux dire montrer f(x)/x est bornée (ou bien comme dit , Kaderov , montrer qu'elle prend des valeurs fini )
Bon la premiere cdt peut le garantir je crois ...?

non je crois que pour passer de Q à IR il suffit aussi de montrer qu'il est bornée ou juste borné sur un intervalle centré en 0 et déduire par un encadrement quelle est continue...on avait un DL qui se lie à l'équation de CAUCHY et on a evoqué toutes les conditions qui peut assurer ce passage.

neutrino a écrit:

khadija-daria a écrit:

trouver toutes les fonctions f:IR---->IR telle que:
f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1 et f(x)f(1/x)=1.

Je ne suis pas interessé par eq functionnelles . sauf si je suis stupide mais je crois que ton exo est trivial , car f(x+y)=f(x)+f(y) est l'équation additive de cauchy dont les solutions sont f(x)=ax .... enfin on trouve que f(x)=Id
A+

f: x->-x est aussi une solution

mais f(1)=1

ok voici ce que j'ai obtenu,j'ai dit quil faut montrer que f est

bornée,mais y'a truc si beau:

*f(x+y)=f(x)+f(y)

**f est bornée dans un intervalle centré au voisinage de 0

* et ** implique que fest bornée sur tout l'intervalle IR et

que f est continue.

donc,choisissons un x tel que x>=2

alors il existe un a>=0 tel que x=a+1/a.

on sait que pour tout s de IR:

|x+1/x|>=2 alors on a:

|f(x)|=|f(a+1/a)|=|f(a)+f(1/a)|=|f(a)+1/f(a)|>=2 alors

f(1/x)=<1/2 cequi montre qu'au voisinage de 0 f est bornée.

D'où le résultat.