bizarre mais beau...fonctions à deux variables

soit I=[0,1], G=I*I et k£IN
Trouver toutes les functions f:=G--->IR sachant pour tout x,y,z de IR on a :
** f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))
** f(x,1)=1,f(x,y)f(y,x)
** f(zx,zy)=z^k*f(x,y) pour tout x,y,z de IR et k£IN fixé.

c facile j pense,tu va prouver que k=2 et puis f(x,y)=xy
mais j pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé et c'est f(x,1)=x

je pense que c'est f(x,1)=x comme l'a signalé kalm.
mais si oui les solutions ne sont pas complétes.
De ii) f (1,0)=f (0,1)=0
De iii) f (0, x)=f (x, 0)= x^k*f (0,1)=0
Le bord de la surface limité par G est bien défini.

Soit maintenant 0<x=<y<1.
De iii) f (x, y)=f (y, x)= y^k* f (1, x/y)= y^(k-1)*x
Ce qu’on peut écrire autrement : f(x, y)=min(x,y)*max(x,y)^(k-1)

Il nous reste de trouver les valeurs possibles de k.

Soit 0<x=<1/2=<y=<1.
Ainsi f (f(x, ½), y)=f(x, f (1/2, y))=f(x*(1/2) ^ (k-1))=f(x, ½*y^ (k-1))

Choisissons x de la sorte que 2*x=< ½*y^ (k-1)
Il vient que k-1= (k-1) ^2 =>k=1 ou k=2.

Par suite f(x, y)=min(x,y) ou f(x,y)=xy

Réciproquement les deux fonctions vérifient bien l’équation.