Je note x_i,j le nombre de la i-ème ligne et de la j-ème colonne, pour i=1,2 et j=1,2,...,n. Sans perte de généralité, je peux supposer que les nombres x_1,j de la première ligne sont croissants avec j.
Dans la première ligne, je garde les m premiers x_1,j, où m est le plus grand nombre tel que la somme des x_1,j pour j variant de 1 à m soit inférieure ou égale à (n+1)/4 (éventuellement m=0), et je supprime tous les x_1,j avec j>m. Dans la seconde ligne, je supprime tous les x_2,j avec j<m+1.
Il me reste juste à prouver que la somme des x_2,j pour j variant de m+1 à n est inférieur ou égal à (n+1)/4. Dans cette somme, je peux majorer chaque x_2,j par (1-x_1,j). Ensuite, je remarque que pour j>m chacun des x_1,j est minoré par (n+1)/(4(m+1)). En effet : sinon la somme des m+1 premiers x_1,j serait inférieure ou égale à (n+1)/4, ce qui contredirait la définition de m. Donc au total, notre somme peut être majorée par (n-m)(1-(n+1)/(4(m+1))).
La fin de la preuve consiste juste à prouver l'inégalité (n-m)(1-(n+1)/(4(m+1)))<=(n+1)/4. Des calculs élémentaires permettent de ramener cette inégalité sous la forme équivalente suivante [(m+1)/(n+1)][(n-m)/(n+1)]<=1/4. Le premier membre de cette dernière inégalité est le carré de la moyenne géométrique des deux nombres (positifs ou nuls) entre les crochets, et le second est le carré de leur moyenne arithmétique. Cela termine la résolution, car la moyenne géométrique de nombres positifs ou nuls est toujours inférieure ou égale à la moyenen arithmétique de ces même nombres.
Accueil 
.