exo derivabilite

montrer qlq soit n€ IN qlq soit x€ IR* que!

(1+x)^n >= 1+nx

N:B sans recurence ! la montrer grace au derivee

2-

qlq soit x € [ 0 pi/2[

2sinx+tanx>=3x

la demontrer grace au derivee

Salam
on considere une focntion tels que
f(x)=(1+x)^n-1-nx
f'(x)=n(1+x)^(n-1)-n
f'(x)=n((1+x)^(n-1)-1)
daba khassni nzyd nfakr hihi

paheli a écrit:

Salam
on considere une focntion tels que
f(x)=(1+x)^n-1-nx
f'(x)=n(1+x)^(n-1)-n
f'(x)=n((1+x)^(n-1)-1)
daba khassni nzyd nfakr hihi

je continue :
f'(x)=n((1+x)^(n-1)-1)
on a f'(x)=0 <==> n=0 ou (1+x)^(n-1)=1
<==> 1+x=1 <==> x=0
donc x>=0 f croissante
et x=<0 f decroissante (car n £ IN)
donc la valeur minimal de f est f(0)=0
donc f(x)>=0 <==> (1+x)^n>=1+nx

deuxieme derive on arrive a
1/cos²x(cosx-1)(2cos²x-cosx-1)
=1/cos²x(cosx-1)²(2cosx+1) etudie les signes puis conclure