- selfrespect a écrit:
- soit a un irrationel.
Mq (qq soit µ>0 )( il existe n£N*):|exp(2.i.n.Pi.a)-1|<µ.
BSR Selfrespect !!!
A défaut de réponses des Sup-Spés , alors je ne me gêne pas !!!
Tout d'abord , on peut suposer a >0 quitte à travailler avec b=-a sachant par ailleurs que deux complexes conjugués ont même module et que le conjugué de exp(2.i.n.Pi.a) est exp(2.i.n.Pi.b) .
Ton exo demande quelques ingrédients dont :
1) Lemme dit de la Meilleure Approximation : Si a est un réel a >0 alors pour tout entier N non nul , il existe un rationnel r , dont le représentant irréductible p/q soit tel que 1<=q<N et |qa-p|<=1/N
( en particulier |a-(p/q)|<1/q^2 )
2) exp(2.i.x)-1=2.i.sin(x).exp(ix) pour tout x dans IR
3) La continuité de x---------> 2.sin(Pi.x) en 0
pour tout µ >0 il existe THETA >0 tq si |x|<THETA alors |sin(Pi.x)|<µ/2
La Démo : Pour tt µ>0 , il existe d’après Archimède un entier naturel N >=1 tq (1/N)< THETA
Et pour cet entier là , il existe un rationnel r=p/q avec
1<=q<N et |qa-p|<=1/N
On écrira alors :
exp(2.i.q.Pi.a)=exp(2.i.q.Pi.(a-r)).exp(2.i.q.Pi.r)
= exp(2.i.q.Pi.(a-r)).exp(2.i.p.Pi.)= exp(2.i.q.Pi.(a-r))
= exp(2.i.Pi.(qa-p))
Il en résultera que :
| exp(2.i.q.Pi.a)-1|=| exp(2.i.Pi.(qa-p))-1|
2.|sin(Pi.(qa-p))|
Or |qa-p|<=1/N<THETA donc 2.|sin(Pi.(qa-p))|<µ
Ainsi le << n >> que tu cherches c'est << q >> .
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