un exo qui mérite votre attention

salut tout le monde;j'ai une exo qui mérite bien votre attention.
existe il une un polynome P de troisième degrés tel que pour tout entier naturel n le polynome (P n fois) admet exactement 3^n racines réels différents?
(vue la difficulté de telle question qui demande l'existence;j'ai trouvé que la réponse est oui en donnat un exemple mais je suis pas sur de mon démonstration)

Soit p le polynome , on a:

p(x)=Ax^3+Bx²+Cx+D
Dp(x)=3 ( degré )
On sait que D(p(p(x))=( Dp )^2
Ainsi D p(p(...p(x) ))) ( n fois )=( Dp(x) ) ^n
Donc D p(p(...p(x) ))) ( n fois )=3^n
Ce qui implique que p(p(...p(x) ))) a 3^n racines
Ce polynome existe
(sauf erreur )

oui ces racines existent mais si on travail avec les complexes d'apres le theormes d'alambert; mais avec les réels c'est autre chose. n'est ce pas F(x)?

Si P(x) est de 3éme degrés alors PoP(x) l'est aussi !! non?

Si P(x)=x^3 alors PoP(x)=x^9

Okay je vois mtn ou je m'y suis égarer xD

Enfin , Oui je pense qu'il existe un tel polynome Voiçi la construction :
on a cos(3x)=4cos(x)^3-3cos(x)
soit alors P(X)=4X^3-3X
On a P(cos(x))=cos(3x)
alors P^n(cos(x))=cos(3^n.x)
alors a racine de P^n <=>cos(3^na)=O et on deduit les 3^n racines de P^n (ils sont # )

Edit : j'ai eu cete idée a partir d'un exo portant sur le comportement de l'itéré d'un polynome sur ces racines ...et aussi (cos(nx) est un polynome en cos(x) de deg=n )

abdelbaki.attioui a écrit:

selfrespect a écrit:

Enfin , Oui je pense qu'il existe un tel polynome Voiçi la construction :
on a cos(3x)=4cos(x)^3-3cos(x)
soit alors P(X)=4X^3-3X
On a P(cos(x))=cos(3x)
alors P^n(cos(x))=cos(3^n.x)
alors a racine de P^n <=>cos(3^na)=O et on deduit les 3^n racines de P^n (ils sont # )

Edit : j'ai eu cete idée a partir d'un exo portant sur le comportement de l'itéré d'un polynome sur ces racines ...et aussi (cos(nx) est un polynome en cos(x) de deg=n )

Attention: Il y a une confusion entre P^n et PoPo..oP

J'ai utilusé la notation P^n pour designer la itéré n éme de P ,

C'est un exo d'olympiade internationale ça.

est-ce qu'il faut que le polynome P admettre trois racine reels differentes????

mathema a écrit:

est-ce qu'il faut que le polynome P admettre trois racine reels differentes????

OUI mathema,ils sont tous différents deux à deux.

chebychev a écrit:

C'est un exo d'olympiade internationale ça.

J epense pas que ce genre d'xercice soit en olymp !? , ben tu peux m'envoyer le sujet.
merçi.