ineq

prouvez que:
a^6 -a^5 +a^4- a^3 +a^2- a+ 1 >= 1/2 .

a^6 -a^5 +a^4- a^3 +a^2- a+ 1= (a^7+1)/(a+1)

Si a>=1:
a^7+1>=a+1 => (a^7+1)/(a+1)>=1>1/2
Si 1>=a>=0:
2>=a+1>=1
2>=a^7+1>=1
=> (a^7+1)/(a+1)>=1>1/2

J'essaie pour a=<0

pr le cas a<=0 , cé trivial le coté droit >1
il existe une solution plus simple en utilisant a^2+b^2>=2ab

mhdi a écrit:

a^6 -a^5 +a^4- a^3 +a^2- a+ 1= (a^7+1)/(a+1)

Si a>=1:
a^7+1>=a+1 => (a^7+1)/(a+1)>=1>1/2
Si 1>=a>=0:
2>=a+1>=1
2>=a^7+1>=1
=> (a^7+1)/(a+1)>=1>1/2

J'essaie pour a=<0

voici ma solution:
on a :
a^6 +a^4/4 >= a^5
et
a²/2 +a^4/2 >= a^3
il suffit donc de prouver que:
a^4/4 +a²/2 -a +1/2 >=0
d'autre part on a
a^4/4 +1/4 >= a²/2
alors
a^4/4 +a²/2 -a +1/2 >= a² - a + 1/4 = (a-1/2)² >=0.