une belle inégalité

Salut
voila une belle inégalité

je viens de trouver une démonstration,je vais vous la montrer apres

c simple de limo je pense la convexité l'a tue .

remarque que l inegalité à prouver est homogene et suppose que a+b+c=1.
remarque aussi que x:--> 1/V(x) est convexe , donc :

LHS >= 1/V(a(a²+8bc)+b(b²+8ca)+c(c²+8ab))

donc il suffit de prouver que a(a²+8bc)+b(b²+8ca)+c(c²+8ab)=<1

<==> a^3+b^3+c^3+24abc =<1

or : a^3+b^3+c^3+24abc=1-3(a²b+b²c+c²a+a²c+bc²+ab²)+18abc
=<1-18abc+18abc (AM-GM)
=1

a, b, c sont positive reels. posons a' = √(a2 + 8bc), b' = √(b2 + 8ca), c' = √(c2 + 8ab). il faut prouver a/a' + b/b' + c/c' >= 1.



Solution


on utilise Cauchy: (∑ xy)2 ≤ ∑ x2 ∑ y2.

on prend x2 = a/a' [et pour etre plus précis on prend x12 = a/a', x22 = b/b', x32 = c/c'.]. pose y2 = a a', donc xy = a. puis on aura ∑ a/a' >= (∑ a)2/∑ a a'.

on fait Cauchy une autre fois pour se débarasser de ∑ a a'. maintenant on prouver que ∑ a a' ≤ qlqch. on a X=a, Y=a' ne fonctionne pas, mais si X=a1/2, Y=a1/2a', donc on a ∑ a a' ≤ (∑ a)1/2 (∑ a a'2)1/2. donc on aura l'inégalité initiale(∑ a)3/2 ≥ (∑ a a'2)1/2 ou (∑ a)3 ≥ ∑ a a'2.

elle equivalente a : 3(ab2 + ac2 + ba2 + bc2 + ca2 + cb2) ≥ 18abc, or a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 ≥ 0, et elle est clairement vraie

sALUUUUUUUUT/
Je aime lezinegalité mais hadi chwiya zwina8)
linegaliti ----> f(u)+f(v)+f(w)>=1 7ayto:u=bc/a ,v=ac/b,w=ab/c.
wa f hya addala : f(x)=1/racine(1+8x)
f(exp(ln(u))+f(exp(lnv))+f(exp(ln(w))>=3f(exp(ln(u)+ln(v)+ln(w))/3)=3f(1)=1:twisted:
salut!