minimum absolu

Bonjour;
La fonction g : x-->exp(-f(x)) est continue , strictement positive et tend vers 0 en +oo et -oo.
Il existe donc A>0 tel que pour tout x,|x|>A on ait : 0<g(x)<g(0)
et ainsi on peut écrire que : sup g = sup g/[-A,A]=g(x0)
et il est alors facile de voir que f admet un minimum absolu en x0 (sauf erreur bien entendu)

Jolie réponse d'ElHor

Un grand Merci à abdelbaki.attioui qui est l'un de mes meilleurs enseignants des mathématiques

tt simplement si f n'admet pas de minimum absolu
quelque soi A de R il existe b tel que f(b)<A
alors il faut qu'on trouve a de R
tel que lim(x-->a)f(x)=-l'infinie
ce qui es absurde car f est continue en a