suite et division

définissons la suite U_n comme suit:
U_0=0,U_1=1 et U_(n+2)=2*U_(n+1)+U_(n).
montrer que 2^k divise U_n si et seulement si 2^k divise n.

c'est quoi k?

hypermb a écrit:

c'est quoi k?

BSR hypermb !!
k doit être un exposant entier ( naturel ) arbitraire , je présume !!!!!!

LHASSANE

pour k=1, on a 2^k=2, il divise 2 par contre il ne divise pas U2=1 !

hypermb a écrit:

pour k=1, on a 2^k=2, il divise 2 par contre il ne divise pas U2=1 !

T'a raison !
Sa sent le Bug !!
Je pense qu'il faille étudier la suite récurrente double proposée par Rédouane , son équation caractéristique a pour solutions les nombres dorés (1+rac5)/2 et (1-rac5)/2
puis extraire de tout cela l'expression de un en fonction de n et des données initiales u0 et u1 puis voir ...... ou est le Bug !!!

J'ai fait les calculs et sauf erreur bien entendu , on trouve :
un={(rac5)/5}.{((1+rac5)/2)^n - ((1-rac5)/2)^n } ..........

LHASSANE

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Rédouane & hypermb !!

Je reviens encore sur cet exo pour rajouter les éléments suivants que vous connaissez sûrement !!!
On sait qu'il existe deux suites d"éléments de Z tels que :
(1+rac5)^n=An+Bn.(rac5)
(1-rac5)^n=An-Bn.(rac5) pour tout entier n .
cela se fait par récurrence ou par le Binôme de Newton.
Si bien que un={2.Bn}/2^n
Noter aussi que un est entier et donc 2^(n-1) doit DIVISER Bn !!!!!!!!!!!!!

Je ne sais comment exploiter celà en vue de trouver l'éventuel Bug détecté par hypermb !!!!!!

LHASSANE

je crois qu'il y a un problème dans la suite récurrente elle-meme ...