Inéquation fonctionnelle ==> f(x) = 0.

Soit f:R+ -> ]-1/2; 1/2[ telle que f(y) - f(x) >= 2f(x)f(y), q.q.s. y > x > 0.
Montrer que f(x) = 0 q.q.s. x > 0.

Il n'y a aucune hypothése sur f , continuité par exemple?

Bonjour,

J'ai résolu ce problème et il n'y a pas besoin d'hypothèses supplémentaires (comme continuité de f).

--
Patrick

Effectivement, les hypothèses de mon premier messages suffisent.

slt moi aussi je lai resolu
si f est constante ==> f(x)=0
si f n est pas constante on utilse la derivé on demontre quil nya aucune solution

Salut Eto,

Aucune hypothèse sur f.
Tu ne peux donc la supposer continue, et encore moins dérivable.
Tu ne peux donc la dériver.

(sans parler du fait que dériver une inégalité ... )

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Patrick

non c pas ça je que voulais dire
on pose y=x+h avec h positif et en fait la limite qd h tend vers 0

Certes, mais il me semble que tu ne peux rien en tirer puisque f n'est pas supposée continue.

Donc, par exemple f(x+h) - f(x) n'a aucune raison de tendre vers 0 si h tend vers 0 ...

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Patrick

L'ensemble Z={x>0 / f(x)=0 } est un intervalle .....

Ce n'est pas la voie que j'ai utilisée.

Et je ne vois pas où cette voie peut mener.
Z peut être vide
Sinon c'est un intervalle (ouvert, fermé, semi ouvert).
Et f(x) <=0 avant et f(x) >=0 après.

Mais je ne vois pas comment cela peut te mener à la solution.

--
Patrick

Bonjour,

Voici la voie que j'ai utilisée :

1) Montrons que f(x) <= 0 pour tout x de R+
f(y) - f(x) >= 2f(x)f(y) et f(x) < 1/2 ==> f(x)/(1-2f(x)) <= f(y)
Donc : Soit a > 0; Si f(y) < a : f(x)/(1-2f(x)) < a pour tout x < y
Donc : Soit a > 0; Si f(y) < a : f(x) < a/(2a+1) pour tout x < y
En appliquant cela n fois, il vient :
Soit a > 0; Si f(y) < a : f(x) < a/(2na+1) pour tout x < y, pour tout n
Soit a > 0; Si f(y) < a : f(x) <=0 pour tout x < y
En faisant a = 1/2, il vient f(x) <= 0 pour tout x

1) Montrons que f(x) >= 0 pour tout x de R+*
f(y) - f(x) >= 2f(x)f(y) et f(x) < 1/2 ==> f(x)/(1-2f(x)) <= f(y)
x/(1-2x) est une fonction strictement croissante de x
Donc : Soit a < 0; Si f(x) > a : f(y) >= f(x)/(1-2f(x)) > a/(1-2a) pour tout y>x
En appliquant cela n fois, il vient :
Soit a < 0; Si f(x) > a : f(y) > a/(1-2na) pour tout y>x, pour tout n
Soit a < 0; Si f(x) > a : f(y) >= 0 pour tout y>x
En faisant a = -1/2, il vient f(x) >= 0 pour tout x > 0

Et donc f(x) = 0 pour tout x de R+*
CQFD

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Patrick

Citation :

"En appliquant cela n fois,"

j'ai pas compri ce passage

Salut,

Je reconnais ne pas avoir été clair.
Je veux dire :

Soit a > 0; Si f(y) < a : f(x) < g(a) pour tout x < y
avec g(a) = a/(2a+1)

Si a est positif, g(a) est positif et on peut réappliquer la propriété avec b = g(a) :
Soit b > 0; Si f(x) < b : f(z) < g(b) pour tout z < x

Et donc :
Soit a > 0; Si f(y) < a : f(x) < g(g((a)) pour tout x < y
et ainsi de suite :
Soit a > 0; Si f(y) < a : f(x) < g(g(g(g(((...a...)))))) pour tout x < y

Mais g(a) = a/(2a+1) ==> g(g(a))=a/(4a+1) et ... g(g( .. n fois (a))) = a/(2na + 1)

Donc :
Soit a > 0; Si f(y) < a : f(x) < a/(2na+1) pour tout x < y et pour tout n

...

J'espère avoir été plus clair.

--
Patrick







En appliquant cela n fois, il vient :
Soit a > 0; Si f(y) < a : f(x) < a/(2na+1) pour tout x < y, pour tout n

merci