ex 3 tst N°2 d'olympiade du 25/11/2005

jai deja posté cet exercice
Solution

trivial

reoredenement

on peut utiliser shebychev-reordonoment-(a²+b²>=2ab)
en+l'inégalité est homogène ,donc on supose que x+y+z=1
,,,,,,et ainsi de suite

c.s
(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2) >= (ab+bc+ac)^2
==>
a^2 +b^2 +c^2 >= ab + bc + ac

remplacer

a= V(xy/z) ; b= V(xz/y) et c= V(yz/x)

on trouve la relation

salam

a²+b² > 2ab
------------------

x²y² + y²z² > 2xzy²
y²z² + z²x² > 2xyz²
x²z² + x²y² > 2yzx²
-----------------------
2(x²y²+y²z²+z²x²) > 2(xyz²+yzx²+xzy²)

on divise pa 2xyz

xy/z + yz/x + xz/y > x + y + z

.

j'ai oublié :car xyz > 0

.

xy/z+xz/y = x(y/z+z/y)>=2x

xy/z+yz/x = y(x/z+z/x)>=2y

xz/y+yz/x = z(x/y+y/x)>=2z .. En sommant CQFD ..

(x+y)2+(z+x)2+(y+z)2=2xcar+2ycar+2zcar-2(xy+zx+yz)
on sais que (a)car+(b)car>=2ab
on deduit que
2xcar+2ycar+2zcar>=2(xy+zx+yz)
puis on devise le tout par 1/xyz
on obtient 1/x+1/y+1/z>=x/yz+y/xz+z/xy
puis +y+z=<yz/x+xz/y+xy/z

J'ai commencé par cet exercice aux olympiades.
Trois lignes suffisent, puisque c'est trivial:

MouaDoS a écrit:

xy/z+xz/y = x(y/z+z/y)>=2x

xy/z+yz/x = y(x/z+z/x)>=2y

xz/y+yz/x = z(x/y+y/x)>=2z .. En sommant CQFD ..

Bien vu MouaDoS, c'est exactement ce que j'ai fait.