- galois2000 a écrit:
- soient x, y, z des réels positifs tels que 2xyz = 2x + 4y + 7z. trouver le minimum de P = x + y + z.
si les variables >=0 , clairement le min est 0 , donc je suppose que ts les variables sont strictement positifs:
la contrainte ==> 2/yz + 4/xz +7/xy =2 , posons a=1/xy , b=1/xz , c=1/yz
<=> 7a+4b+2c=2
P= sqrt(c/ab) + sqrt(b/ac) +sqrt(a/bc)
il suffit de minimiser P= a/bc + b/ac + c/ab avec 7a^2+4b^2+2c^2=2
par am-gm : c/ab + b/ac + a/bc >= 1/a +1/b +1/c >= 9/(a+b+c)
par C.S: (7a^2+4b^2+2c^2) ( 1/7 +1/4 +1/2) >= (a+b+c)^2
<=> a+b+c <= sqrt(14)/5
<=> min(P)= 9sqrt(14)/5 , enfin je crois
P.S: sqrt(x) : racine carée de x
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