histoire de volume

Bon, voilà je suis bloqué à un résultat intuitif géométrique évident mais dont la démonstration rigoureuse m'échappe. Je me place dans R^d avec d>=1.

Montrer que si j'ai un pavé fermé inclus dans une réunion finie de pavés ouverts alors le volume de celui-ci est inférieur à la somme des volumes des pavés qui le recouvre.

Formalisons un peu tout cela pour ceux qui ne sont pas familier avec ce langage :

Soit (a_1, ..., a_d, b_1, ..., b_d) un élément de |R^(2d). J'appelle pavé fermé (respectivement ouvert) de R^d, l'ensemble :

[a_1, b_1] x ... x [a_d, b_d] (resp ]a_1, b_1[ x ... x ]a_d, b_d[)

et le volume de ce pavé est (b_1-a_1)...(b_d-a_d)

Voilà, j'en ai besoin en fait pour des choses qui dépassent le cadre des mathspé (montrer que la mesure de Lebesgue d'un pavé est son volume).

Pour d=1, je l'ai montré sans trop de difficulté mais pour les dimensions supérieures je n'ai que des arguments géométriques... Si vous pouviez m'aider le plus vite possible.

BJR à Toutes et Tous !!
BJR pelikano !!

C'est le genre de truc que tu peux sans doute trouver dans tout exposé académique sur la Mesure de Lebesgue en Maitrise , je précise !!!!
Cependant , je suis tombé sur un document .pdf assez intéressant !!!
Voici comment le télécharger :
1) Vas sur le site : http://www.mathprepa.fr/
2) Cliques sur " CONTRIBS " ( contributions ) en haut
3) Télécharges le document
<< Théorie Elementaire des Volumes >>
C'est un document .pdf de 24 pages rédigé par Abdelkader TAMIMI

Et puis apprécies en la lecture un peu rébarbative qui t'apportera un éclairage intéressant sur ta question !!!!

LHASSANE

Merci

pelikano a écrit:

Merci

De R1 pelikano !!
Cet article de Abdelkader TAMIMI

Abdelkader Tamimi
Inspecteur de mathématiques à l'académie de Casablanca Marocain Bien de Chez Nous !!!!!

Un résumé de l'article :
Cet article est en gros une refonte d'un texte de Henri Cartan datant de la fin des années 50 .
Voici le résumé de cet article: « Nous essayons dans ces notes de donner une forme mathématique précise de ce que pourrait être "la taille" ou le "volume" d'un sous-ensemble de R^n. Nous exposons le problème de l'existence du volume des sous-ensembles de R^n en suivant pour cela les idées de Lebesgue et de Cartan. Nous montrerons alors l'existence et l'unicité du volume pour une classe de sous-ensembles de R^n plus vaste que celle des pavés de R^n, classe contenant au moins les corps convexes. Nous développons aussi quelques techniques simples de calcul du volume de certains corps usuels de R^n ( les boules et plus généralement les ellipsoïdes, les cônes, quelques polyèdres convexes, notamment les pavés obliques et les simplexes, etc.) »

Bonne Chance & surtout Bonne Lecture !!

LHASSANE

Intéressant cet article mais il passe quand même sans le dire par les mesure produits pour étendre son résultat à des dimensions supérieures ce que je voulais éviter...

En fait ce que je demande, c'est une démonstration plutôt simple de ce lemme sans tout l'attirail de la théorie de la mesure. Je met ma démonstration dans le cas d = 1 pour inspirer les consciences :

Montrons par récurrence forte sur l'entier n la propriété :

(Hn) : [a,b] c union( ]a_k,b_k[, k=0...n) => b-a < sum( b_k-a_k, k=0...n)

Pour le cas n = 0, c'est évident : [a,b] c ]a_0, b_0[ nous donne deux inégalités b< b_0 et a_0<a ie b-a<b_0-a_0.

Supposons que pour un certain entier n, on ait : pour tout k=<n (Hk)
A l'ordre n+1, on a :

[a,b] c union( ]a_k,b_k[, k=0...n+1)

Il existe donc k0 et k1 dans [|0, n+1|] tel que :

a est dans ]a_k0,b_k0[ et b dans ]a_k1,b_k1[ ie en terme d'inégalité que b-a< b_k1-a_k0

On distingue alors deux cas :

D'une part, si b_k0-a_k1 >=0, alors on obtient b-a< (b_k1-a_k1) + (b_k0-a_k0)
puis comme pour tout k dans [|0, n+1|] différent de k0 et k1 on a :
b_k-a_k>=0 on tire le résultat :

b-a < sum( b_k-a_k, k=0...n+1)

D'autre part, si b_k0-a_k1 <0, alors
[b_k0, a_k1] c [a,b] c union( ]a_k,b_k[, k=0...n+1)
or [b_k0, a_k1] et ]a_k0,b_k0[ ne se rencontre pas et ni avec ]a_k1,b_k1[

On en déduis que :

[b_k0, a_k1] c union( ]a_k,b_k[, k=0...n+1, k différent de k0 et k1)

On utilise alors l'hypothèse de récurrence :

0< -a_k1+b_k0 + sum( b_k-a_k, k=0...n+1, k différent de k0 et k1)

Bref, en combinant avec l'inégalité b-a< b_k1-a_k0, on obtient l'inégalité demandée CQFD.

Personne ne peut m'aider ??? Tout le monde est en vacances lol c'est bien normal...

pelikano a écrit:

Intéressant cet article mais il passe quand même sans le dire par les mesure produits pour étendre son résultat à des dimensions supérieures ce que je voulais éviter ........

BJR à Toutes et Tous !!
BJR pelikano !!
Je t'ai envoyé un Message Privé hier te demandant quel était ton niveau académique mais tu n'as
NI OUVERT le MP et à plus forte raison répondu !!
Je l'ai effacé depuis ........
J'ai l'habitude de vouloir connaitre le niveau de mon interlocuteur de manière à utiliser le Bagage Adéquat pour répondre à ses questionnements !!!
Ce n'est pas un problème !
De toutes les manières , tu ne peux éviter d'utiliser la Mesure-Produit pour les besoins de ton Pb car autrement :
Comment accepter que le Volume d'un rectangle A dans IR^2 ,
A=[a;b]x[c;d] est égal à (d-c).(b-a) ?????????????
Tu vas me répondre que c'est Intuitif & Géométrique jusqu'à d=3 !!
Mais alors comment concevoir le Volume d'un parallélotope de IR^d quand d>=4 ( pavé généralisé ) ?

Ta réponse m'obligerait !!

LHASSANE

Je suis désolé de ne pas avoir ouvert le Message Privé mais comment le voir sur le site???

J'ai effectivement reçu un mail mais vous l'aviez supprimer depuis

pelikano a écrit:

Je suis désolé de ne pas avoir ouvert le Message Privé mais comment le voir sur le site???

J'ai effectivement reçu un mail mais vous l'aviez supprimer depuis

Salut !!
<< Je t'ai envoyé un Message Privé hier te demandant quel était ton niveau académique mais tu n'as
NI OUVERT le MP et à plus forte raison répondu !! >>
Mnt pelikano ! Quel est votre niveau académique ?
Elève-Ingé ?
Elève en Prépas ?
Etudiant en Fac des Sciences ?

C'est si simple à dire !!
Autrement , je crois t'avoir répondu , tu ne peux éviter la Mesure-Produit , c'est incontournable .... de manière déclarée ou cachée !!!!

LHASSANE

Bon je suis niveau L3 et je vais entrer en master de maths l'an prochain. Comme j'ai survolé la théorie cette année, j'ai décidé de la revoir plus en détail avant d'attaquer les probabilité conditionnelle.

A part cela, je vais détailler mon cheminement.
On se place dans |R^d. On pose :

pour toute partie A de |R^d, on pose :

l(A) = inf{ sum(vol(Pi)) ; Ac union (Pi) } avec (Pi des pavés)

J'ai montré que l est une mesure extérieure. j'ai montrer que B(l) est une tribu qui contient B(|R^d) et que l restreinte à B(l) est une mesure.

Je cherche maintenant à montrer que l(P) = vol (P) pour P un pavé

J'ai montré que l(P fermé ) = l(P ouvert)
On a facilement l(P fermé) =< vol(P)

Ensuite, pour obtenir l'inégalité inverse, Je prend :
Soit P un pavé fermé inclus dans une réunion dénombrable de pavés ouverts. Par compacité, j'en extrait une réunion finie
Le lemme me permettrait alors de conclure que

vol(P) =< sum(volPi, i=0...N) <= sum(vol(Pi))

et cela pour tout les recouvrement dénombrable de pavés ouverts ce qui donne

vol(P) =< l(P)

donc vol(P) = l(P)

Je n'aurais dans ce cas ni utilisé la mesure produit, ni le théorème de représentation de Riesz pour construire l'intégrale de Lebesgue sur R^d.

Certes j'ai définit de manière arbitraire avant le volume d'un pavé (ce qui d'une certaine manière passe par le mesure produit mais juste pour les pavés)

Voila, en espérant avoir répondu aux questions et encore désolé pour le MP Mr Lhassane

BJR pelikano !!
Tu es en SMI-SM 3ème Année !!
Je vois mnt ce que tu cherches à faire !!
Cé pas évident !!
Je suis pour ma part plutôt Spécialiste en Maths Applis ( Contrôle Optimal , Analyse Numérique et EDP ) !! Il te fodré donc un Spé de l'Intégration & Théorie de la Mesure !!
Ceci dit , je suis content de connaitre un Faquin ( Etudiant en Fac ) !! J'ai passé 28 ans à enseigner à la Fac. des Sciences de Rabat ( dont les deux dernières années sous le nouveau régime LMD ) !!
Mais , il reste que ton problème que tu as clairement expliqué en fin de compte , m'interpelle toujours et si j'ai des choses à t'apporter , je le ferais avec beaucoup de bonheur !!!
Et Vive la Solidarité Agissante !!

LHASSANE

Je crois que j'ai réussi à transformer le problème en une inégalité, je ne sais pas si elle est vrai.

Soit d>=1 et n un entier. Soit des réels a_(i,k) et b_(i,k) avec k dans [|0,n|] et i dans [|1,d|] tels que :
b(i,k)>a(i,k) pour tout k et i

Pour tout (k1, ..., kd, l1, ..., ld) élément de [|0, n|]^(2d), on a :

produit( b_(i,ki) - a_(i,li), i=1...d ) =< sum ( prod(b_(i,k)-a_(i,k), i=1..d) , k=0..n )

Si on montre ca, je pense qu'on peux s'en sortir.
Arf, il faudrait que j'apprenne à éditer en latex. J'ai posté un nouveau message dasn inégalité

Je met le lien du même sujet que j'ai posté ailleurs

Les réponses sont très intéressantes et le problème est presque résolu...

http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?4,458868

pelikano a écrit:

Je met le lien du même sujet que j'ai posté ailleurs

Les réponses sont très intéressantes et le problème est presque résolu...

http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?4,458868

BSR pelikano !!
Merci pour le Lien qui ne t'a pas apporté grand chose en fait !!!
Une petite boutade d'un forumiste qui t'a répondu dans le Forum de Strasbourg :
<< Il y a bcp de résultats comme ça expédiés par les livres sans démonstration... >>
Ce que je t'avais aussi dit !! Ton Truc est certainement évident mais
ch..nt et long à écrire et personne n'ose le faire , non que c'est difficile mais parceque rébarbatif !!!!!
Celà dit , je suis toujours de ton côté à chercher ....

LHASSANE

En effet, la démonstration qu'il me propose est astucieuse mais il semble que il n'y ait pas moyen de la faire proprement sans le faire conceptuellement.

Hourra!!! Je crois avoir trouvé une démonstration courte sans récurrence, un peu lourde en notation et sans cas multiples!! cf le lien que j'ai mis plus haut

Et hop, j'ai réussi à la construire cette intégrale de Lebesgue sur Rd finalement.

pelikano tout fier de la démonstration de son lemme lol.