BJR à Toutes et Tous !!
BJR exodian95 !!
Exo très intéressant et non standart !!
J'ai tout de suite flashé !!
On peut supposer d’abord P(X) unitaire .
On appelle a1 , a2 , …. , ap les racines réelles de P(X) avec les ordres de multiplicité
n1 , n2 , …. , np . Alors n1+n2+.... +np = n et on peut écrire :
P(X)=PRODUIT { i=1 à p ; (X-ai)^ni }
D’autre part , si on travaille dans C(X) , Corps des Fractions de l’anneau C[X] , on sait que :
{P’(X)/P(X)}=SIGMA{ i=1 à p ; ni/(X-ai) }
Maintenant , soit b une racine réelle ou complexe de Q(X) , alors :
Si P(b)=0 ( auquel cas P’(b)=0 car k est dans C* ) alors b est une racine de P(X) et de là b doit être réelle par hypothèse et le Pb sera réglé puisque Im(b)=0
Si P(b)<>0 alors forcément ( b ne saurait être égal à aucune des racines ai de P(X) ) :
{P’(b)/P(b)}=1/k= SIGMA {i=1 à p ; ni/(b-ai) }
Un petit coup avec les Modules donnerait :
1/|k| = | SIGMA { i=1 à p ; ni/(b-ai) }|<= SIGMA { i=1 à p ; ni/|b-ai| }
Posons M=Inf { |b-ai| ; i=1 à p } , ce réel M est un Minimum atteint et M > 0
Alors ni/|b-ai| <=ni/M d’où 1/|k| <={1/M}. SIGMA { i=1 à p ; ni }= n/M
Il en résulte que M <=n.|k|
Il existe un indice j entre 1 et p tel que M=|b-aj|
Si on rappelle que aj est réel donc Im(b-aj)=Im(b) , on en déduira sans difficultés que :
|Im(b)|=|Im(b-aj)| <= |b-aj|=M <= n/|k|
C'était là Ce Qu'il Fallait Démontrer !!!!
LHASSANE
Accueil 
