limite

bjr
stp je ne vois pas bien le message tu pourrais le modifier stp?

Je croi ke mnt é clair

et c'est quoi la question?

la question é la suivante :Déterminer la limite en zéro de la fonction fn

ton exo est flou, rend le plus claire cette fois et si tu arrives à l'ecrire en lateX ça serai beau , en faite ce que j'ai pas compris cé les pionts que t'as fait car ça ne désigne rien pour moi : n un multuplicateurs de 3 ??!
A+

BJR à Toutes et Tous !!
BJR miriam !!

miriam a écrit:

slt tt le monde !!!!!
Soit, pour n entier naturel supérieur à 2, la fonction fn définie par :
fn(x) = {(V(cosx) -1)(3V(cosx) -1).........(nV(cosx) -1)} /x^(2n-2)
= PRODUIT { i=2 à n ; {(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 }
Déterminer la limite en zéro de la fonction fn .

QUESTION de NOTATION :
Si i est un entier , i>=2 , (cosx)^(1/i) désigne la racine i-ième de cosx
( On n'a pas de problème au niveau de la définition puisqu'au voisinage de ZERO , cosx est positif car voisin de UN ).
On constate effectivement que l’expression fn fait apparaître
(cosx)^(1/2) -1
(cosx)^(1/3) -1
(cosx)^(1/4) -1
…
…
(cosx)^(1/n) -1
Soit (n-1) facteurs . Par ailleurs x^(2n-2)=(x^2)^(n-1) et donc , on pourrait alors écrire astucieusement fn(x) sous la forme suivante :
fn(x) = PRODUIT { i=2 à n ; {(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 }
Il nous restera simplement à chercher la limite en zéro de chaque facteur
{(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 pour chaque entier i=2,3,4, ……, n
Maintenant , je ne sais pas si c’est au Programme des BACSM ou pas , on va utiliser les équivalents standarts ( le symbole ~ signifie équivalent ) :
On écrit d’abord (cosx)^(1/i) = exp{(1/i).Ln(cosx)}
Lorsque x est voisin de ZERO alors Ln(cosx) ~ cosx – 1
Or cosx – 1 ~ - (x^2)/2
Donc Ln(cosx) ~ - (x^2)/2
D’où au final :
(cosx)^(1/i) – 1 = exp{(1/i).Ln(cosx)} – 1 ~ -(1/2i).x^2
et par suite :
Lim {(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 = - (1/2i) lorsque x ------> ZERO
EN CONCLUSION :
Lim PRODUIT { i=2 à n ; {(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 }=(-1/2)^(n-1) . (1/n !)
Lorsque x-------> ZERO
La limite cherchée vaut donc
{(-1)^(n-1)}/{2^(n-1) . n! }

LHASSANE

Merci bocou M.Lhssan pr la démostration détaillé mm si on a pas encor étudié la fonction Ln
En tt ca je ss tré reconnaissante pr votr aide!!!!!

pas besoin de Ln

on utilise les deux formules

(cosx)^(1/i)-1=(cosx-1)/((cosx)^((i-1)/i)+...+1)

et lim(cosx-1)/x²=1/2 qd x->0

o0aminbe0o a écrit:

pas besoin de Ln
on utilise les deux formules
(cosx)^(1/i)-1=(cosx-1)/((cosx)^((i-1)/i)+...+1)
et lim(cosx-1)/x²=1/2 qd x->0

BJR à Toutes et Tous !!
BJR oOaminebeOo !!
Tu as tout à fait raison !!
En fait , s'agissant du calcul d'une LIMITE , on peut présumer que la fonction Ln n'a pas encore été étudiée en Cours !! ( les Limites sont traitées en début de Programme en BACSM sans doute ??? )

Pour ce qui est de ton indication , on peut de manière générale utiliser l'identité remarquable suivante :

A^i - B^i= (A-B).{A^(i-1)+.....+A^k.B^(i-1-k)+.....+B^(i-1)}
dans laquelle on remplacera :
A^i par cosx ( ce qui donnera A=(cosx)^(1/i)
et B par 1
puis conclure comme tu l'as si B1 fait !!!

LHASSANE

PS : voir le Lien suivant pour les identités remarquables
http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9s_remarquables#Autres_identit.C3.A9s

SLt tt le monde!!!!!
Mé commen peu ton démonté l'identité remarkable suivante
A^i - B^i= (A-B).{A^(i-1)+.....+A^k.B^(i-1-k)+.....+B^(i-1)}

je crois qu'on la démontre par récurrence

miriam a écrit:

SLt tt le monde!!!!!
Mé commen peu ton démonté l'identité remarkable suivante
A^i - B^i= (A-B).{A^(i-1)+.....+A^k.B^(i-1-k)+.....+B^(i-1)}

Salam
il suffit de développer ....

on sait que :
a^n - b^n est divisible par a - b pour toutes les puissances n impaires

et en plus par a + b pour les puissances n paires.

iori a écrit:

on sait que :
a^n - b^n est divisible par a - b pour toutes les puissances n impaires

et en plus par a + b pour les puissances n paires.

non , a^n-b^n est divisible par a-b pour tout n£IN

Salam tt le monde;;
Merci miriam pr la question;;
ben voila l exo complet et je vx ke vs me donner votre point de vue:



2/


Soit,pour n entier naturel supérieur à 2, la fonction nf définie par :



Voici je ke j avé fé:

BJR à Toutes et Tous !!
BJR imane20 !!

Regardes de près ton corrigé , il y a une erreur dans l'avant-dernière ligne qui s'est répercutée sur ton résultat final !!
De manière précise :
{cosx}^((n-1)/n)+{cosx}^((n-2)/n)+.........+1
={cosx}^((n-1)/n)+{cosx}^((n-2)/n)+.........+{cosx}^((n-n)/n)
Cette expression contient exactement n termes qui tendent tous vers 1 lorsque x----->ZERO
et donc tu devrais écrire chez Toi :
Lim {(cosx)^(1/n) – 1}/x^2 = - (1/2n) lorsque x ------> ZERO


On a B1 comme je l'ai écrit :
Lim {(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 = - (1/2i) lorsque x ------> ZERO
La limite cherchée vaut donc
{(-1)^(n-1)}/{2^(n-1) . n! }


LHASSANE

Merci pr ton aide IMANE

une ptite remarque meriem pk t"as pas écrit cette exo auplace de graoupe d'étudiant sm

c'est je pense et pour l'exo cété b1

Merci jack pr la remarque.é oui pr etre plus précise il falé ke je lenvoi ds lespace ke tu a indiké
J feré attention la prochaine foi!!!

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR à Toutes et Tous !!
BJR imane20 !!

Regardes de près ton corrigé , il y a une erreur dans l'avant-dernière ligne qui s'est répercutée sur ton résultat final !!
De manière précise :
{cosx}^((n-1)/n)+{cosx}^((n-2)/n)+.........+1
={cosx}^((n-1)/n)+{cosx}^((n-2)/n)+.........+{cosx}^((n-n)/n)
Cette expression contient exactement n termes qui tendent tous vers 1 lorsque x----->ZERO
et donc tu devrais écrire chez Toi :
Lim {(cosx)^(1/n) – 1}/x^2 = - (1/2n) lorsque x ------> ZERO


On a B1 comme je l'ai écrit :
Lim {(cosx)^(1/i) – 1}/x^2 = - (1/2i) lorsque x ------> ZERO
La limite cherchée vaut donc
{(-1)^(n-1)}/{2^(n-1) . n! }


LHASSANE

Merci Mr Lhassane pr l indication; j ai pa fé attention;;