exercice pour les genie

soit x et y 2 entiers naturels tels que
x/y<racine 2
Etablir
(x+2y)/(x+y)> racine 2

a=x/y<V2

(x+2y)/(x+y)=(a+2)/(a+1)

(a+2)/(a+1)>V2 <==> a-aV2+2-V2>0

<==>(1-V2)(a-V2)>0 ce ki é juste

x/y<V2
x<V2y
V2x<2y
2y-x>V2x-V2y
2y+x-x+x>V2x+V2y-V2y+V2y
2y+x-2x>V2x+V2y-2V2y
sachant que: -2x>-2V2y
donc: 2y+x> V2x+V2y
(2y+x)/(x+y) > V2

2y+x-2x>V2x+V2y-2V2y
sachant que: -2x>-2V2y
donc: 2y+x> V2x+V2y!!!????
si -2x>-2V2y po forcement ghadi t3tik dakchi li b9a kbr mn lakhor 2y+x> V2x+V2y!!!

j une nouvelle solution
methode classique: comparer 2 réels positive revient à leurs carrés
(x+2y)/(x+y)>racine 2 <==>x²+4xy+4y²>2(x²+y²+2xy)
<==> 4y²-2y²>2x²-x²
<==> 2y²>x²
<==>racine 2<x/y

yugayoub a écrit:

j une nouvelle solution
methode classique: comparer 2 réels positive revient à leurs carrés
(x+2y)/(x+y)>racine 2 <==>x²+4xy+4y²>2(x²+y²+2xy)
<==> 4y²-2y²>2x²-x²
<==> 2y²>x²
<==>racine 2<x/y

C'est exactement ce que j'ai fait, sauf que j'ai une question, pourquoi à la fin tu changes le signe de l'inéquation, c'est ici que je bloquais. " <==> 2y²>x²
<==>racine 2<x/y"

Merci.

j croi ke j une ts ptite faute j v la reviser
et j v vs repondre
merci saya

yugayoub a écrit:

j croi ke j une ts ptite faute j v la reviser
et j v vs repondre
merci saya

Il faudrait prouver que y < 0 en fait.. Je vois pas trop comment faire pourtant c'est simple je pense.

je croi que y est un entier naturel dc il est tjr positif n'est ce pas??

salu tt le monde :
pr prouvé : x/y <racine2 =====> x+2y/x+y >racine 2
il suffit de prouvé ke : x+2y/x+y <racine 2 ======> x/y>racin2

x+2y/x+y < V2 ====> x+2y <V2x+V2y
=====>(x-V2x)+(2y-V2y) <0
====>x(1-V2)-V2y(1-V2) <0
Sahant ke (1-V2) <0 =====>(x-V2y)>0
======>x>V2y
=====>x/y>V2
Donc ce ki ve dire ke !
X/Y<V2============= >X+2Y/X+Y>V2
Ps : Raisonnement Logique !

bonne réponse Anaslematheux
on a x/y<V2=>x/y(1-V2)>V2(1-V2)
=>x/y-V2(x/y)>V2-2
=>x/y-V2(x/y)+2>V2
=>x-V2.x+2y>V2.y
=>x+2y>V2(x+y)
=>(x+2y)/(x+y)>V2

x/y < V2 =====> 1+x/y < V2 +1 =====> 1/(1+ x/y )>1/(1+V2) =====>1+1/(1+x/y)>1+1/(1+V2)
et parce que 1+1/(1+x/y) = 1+y/(x+y)= (x+2y)/(x+y)
et 1+1/(1+V2)= V2
donc (x+2y)/(x+y)>V2
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