Demonstration propriété limite

Bonjour tout le monde ,

Voici l'énoncé de l'exercice :

Demontrez grâce à la définition des limites que :

Lim f(x)=L quand x tend vers xo ==> Lim |f(x)|=|L| quand x tend vers xo

et que le contraire est faux

BJR à Toutes et Tous !!
BJR fkN !!

fkN a écrit:

....
Demontrez grâce à la définition des limites que :
Lim f(x)=L quand x tend vers xo ==> Lim |f(x)|=|L| quand x tend vers xo

Cette implication est facile à prouver !!
La Clé de la Démo est l'inégalité suivante :
||a|-|b|| <=|a-b| pour tout a et b dans IR qui résulte elle-même de l'Inégalité Triangulaire dans IR |a+b|<=|a|+|b| pour tout a et b dans IR.
Pour le reste , il suffira d'écrire .....

fkN a écrit:

.....
et que le contraire est faux

Prends donc l'application f de IR dans IR suivante définie par :
f(x)=1 si x>=0 et f(x)=-1 si x<0
IL EST CLAIR que Lim|f(x)|=1 lorsque x----->0 puisque la fonction |f| est la fonction Constante égale à 1 partout sur IR
Mais Limf(x) <>1 lorsque x-->0
Bien Mieux !!! La fonction f n'admet même pas de LIMITE lorsque x----->0