- mni a écrit:
- Lim {1-cox*cos2x*.......cosnx}/x^2 lorsque x----> 0
avec x<>0
BJR à Toutes et Tous !!!
On va poser d'abord :
A(n)=1-cos(x).cos(2x).cos(3x)........cos(nx) pour n entier n>=1
Puis on va démontrer par récurrence sur n
( Istidlal Bi Tarajo3 )la propriété suivante :
(P) :<< Pour chaque n entier , n>=1 L(n)=Lim{A(n)/x^2} lorsque x---->0 avec x<>0 existe >>
PREUVE : P(1) est VRAIE car selon votre Cours de Terminales
L1=Lim{A(1)/x^2}=Lim{1-cosx}/x^2=1/2 lorsque x---->0 , x<>0 .
Hypothèse de Récurrence : supposons que P(n) soit VRAIE alors , on écrira ASTUCIEUSEMENT :
A(n+1)={1-cos((n+1).x)}+cos((n+1)x).A(n)
puis , divisant par x^2 , on obtiendra :
(*) A(n+1)/x^2={1-cos((n+1).x)}/x^2 + cos((n+1)x).{A(n)/x^2}
Remarquons alors que :
{1-cos((n+1)x)}/x^2=(n+1)^2.{1-cos((n+1)x)}/((n+1)x)^2}
et cette quantité tend vers (1/2).(n+1)^2 lorsque x--->0 , x<>0
Dans l'égalité (*) , faisons tendre x vers 0 , , x<>0 ; on obtiendra :
L(n+1)=(1/2).(n+1)^2 + L(n)
Par conséquent , si L(n) existe alors L(n+1) existe aussi donc P(n+1) sera encore VRAIE !!!
Ce Qu'il fallait Démontrer !!
La formule précédente L(n+1)=(1/2).(n+1)^2 + L(n) est assez intéressante puisque c'est une relation de récurrence entre L(n+1) et L(n) permettant sans difficultés de trouver l'expression de L(n) connaissant celle de
L(1)=1/2 et de n seuls !!!!
Il est facile de vérifier par télescopie que :
L(n)=(1/2).{1+2^2+3^2+........+n^2} pour tout entier n , n>=1 
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