Logique

Voici un exo pr vs les premiers sc maths;;

salut..
merci Imane20 pour cet bon exercice ...

1-
pour montrer que
x^2 pair <==> x pair

* on montre que
x pair ==> x^2 pair (c'est facile)
* inversement
(x^2 pair ==> x pair) <==> (x impair ==> x^2 impair)..facile..

2-
P : ( E (p,q) appartient à (IN×IN*) : V2 = p/q )
p/q est un KASR rayr kabel lilikhtizal
P <==> 2 = p^2 / q^2
<==> 2q^2 = p^2
p^2 pair <==> p pair d'aprés la 1ére question
E k appartient à IN : p = 2k
p = 2k <==> p^2 = 4k^2
P <==> 2q^2 = 4k^2
<==> q^2 = 2k^2
q^2 pair <==> q pair
donc p est pair et q est pair..contradiction..alors V2 n'appartient pas à Q

on suppose que x appartient à Q
on a
x = t + 1/(nV2)
x - t = 1/(nV2)
n (x-t) = 1/V2
V2 = 1 / (n (x-t))
x et t appartient à Q ...
alors
1 / (n (x-t)) appartient à Q
donc
V2 appartient à Q ... contradiction...
donc x n'appartient pas à Q ..



N.B : alpha = t

4-a
B > t
B-t > 0
alors
E(1/(B-T)) appartient à IN
et on sait que
1/(B-T) < E(1/(B-T)) + 1
on met n0 = E(1/(B-T)) + 1
donc
E n0 appartient à IN tel que B-t > 1/n0

j'attends vos remarques ..
et merci...
AID MOUBARAK.

et pour la dernière question :
on pose x0 = alpha + 1/n0V2 avec alpha > a et n0 de N*
x0 n'appartient pas à Q d'après la question précédente donc il appartient à R-Q
x0 = alpha + 1/n0V2 > alpha > a (1/n0V2>0)
x0 = alpha + 1/n0V2 < alpha + 1/n0 < b (car il existe un n0 tel que b-alpha>1/n0 d'après la question précédente)
voilà : a<x0<b