1 ) par recurence :
pour n=0 c est clair
donc supposons que l inego est juste et montrons la pour n+1
donc on doit montrer que : ((a+b)/2)^{n+1}>=(a^{n+1}+b^{n+1})/2
on a : ((a+b)/2)^{n+1}=((a+b)/2)^n*(a+b)/2=<((a^n+b^n)/2)*(a+b)/2
=(a^{n+1}+b^{n+1})/4+(b*a^n+a*b^n)/4
donc il suffit de montrer que (b*a^n+a*b^n)/4=<(a^{n+1}+b^{n+1})/4
<==> a^{n+1}-b*a^n+b^{n+1}-a*b^n>=0
<==> (a^n-b^n)(a-b)>=0 ce qui est toujours vrai
2) ceuxieme methode : directement par l inegalité de holder on a :
(a^n+b^n)(1+1)*(1+1)*..........*(1+1) >=(a+b)^n ((1+1) se repete n-1 fois)
donc (a^n+b^n)*2^{n-1}>=(a+b)^n
d ou le resultat
mabrok l aid
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