fog(x)=gof(x), existe-t-il c tq f(c)=g(c)?

On a : F et G deux fonctions de [0;1] vers [0;1] telle que F et G continues dans [0;1]. on suppose que (x£[0;1]) FoG(x)=GoF(x)

montrez qu'il existe c£[0;1] telle que F(c)=G(c).

Titre édité

bsr
j'ai fé un essai

cé po sur ......

nn c faut !la 2eme ligne tu peut trouver un contre exemple
il existe un nombre tel que sinx(cox)=cos(sinx) mais sinx#cosx

t'as rasion alors que signifie
fog(x)=gof(x) ???
Cé la seule manière d'y prosseder en s'aidant de
h(x)=f(x)-g(x)

il signifie la composition de deux fonctions !!!

_Bigbobcarter_ a écrit:

nn c faut !la 2eme ligne tu peut trouver un contre exemple
il existe un nombre tel que sinx(cox)=cos(sinx) mais sinx#cosx

je te propose cet exercice :
montrer que pour tt x de IR on sinx(cosx)<cos(sinx)

pour ton exo zakarya regarde ici: http://mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=1&identifiant=34c0fc89bbcdd24f187e59c629821284

qq x appart à [0 1] f(p)=<f(x)=<f(q) => f(p)=<fog(x)=<f(q)
on a fog=gof
donc f(p)=<gof(x)=<f(q)
on a qq x appart à [0 1] g(p')=<g(x)=<g(q')
donc f(p)=<g(p') et f(q)=<g(q')
qq x appart à [0 1] g(p')=<g(x)=<g(q') =>g(p')=<gof(x)=<g(q')
on a fog=gof
donc g(p')=<fog(x)=<g(q')
on a qq x appart à [0 1] f(p)=<f(x)=<f(q)
donc f(p)=>g(p') et f(q)=>g(q')
on conclut que f(p)=g(p') et f(q)=g(q')
on pose h(x)=g(x)-f(x)
h(p)=g(p)-f(p)=g(p)-g(p')>=0
h(q)=g(q)-f(q)=g(q)-g(q')=<0
on use donc tvi

bon voila

montrer que si a est solution de l'equation f(x)=x alors de g(a) l'est aussi

par Absurde
tu va supposer que quelque soit x € [0 1] f(x)>g(x)

il existe alpha € [0 1] tel que f(alpha)= alpha
f(g(alpha)=g(alpha)

f(g(alpha)>g²(alpha)
g(alpha)> g²(alpha)

donc f(g^n(alpha)=g^n(alpha)
or f(g^n(alpha)>g(g^n(alpha)
>g^n+1(alpha)

on pose un=g^n(alpha)
un>un+1 (qlq soit n€ IN) donc un decroi est minoree par 1
donc il existe lim un = alpha0

on a g(u1)=un+1
f(un)=un
g(alpha0) =alpha0
f(alpha0)=alpha0
donc f(alpha0)=g(alpha0) impossible absurde

jimi neutrino a écrit:

qq x appart à [0 1] f(p)=<f(x)=<f(q) => f(p)=<fog(x)=<f(q)
on a fog=gof
donc f(p)=<gof(x)=<f(q)
on a qq x appart à [0 1] g(p')=<g(x)=<g(q')
donc f(p)=<g(p') et f(q)=<g(q')

pardonne, mais on peut pas deduire ça !!!!

pour la sol de neutriono
pk f(p)=<f(x)=<f(q) => f(p)=<fog(x)=<f(q)

une autre encore
on suppose que f(x)>g(x)
=>il existe un m>0 tel que f(x)>=g(x)+m
on va montrer que f(n)(x)>=g(n)(x)+nm (qq n £ IN)
(f(n)(x)= fofofof....of n fois )
pour n=0 on a f(x)>=g(x)+m

soit n£ IN
on suppose f(n)(x)>=g(n)(x)+nm et on montre que
f(n+1)(x)>=g(n+1)(x)+nm
f(n+1)(x)=f(n)of(x)>=g(n)of(x)+nm ==>f(n+1)(x)>=fog(n)(x)+nm
on a f(x)>=g(x)+m donc fog(n)(x)>=g(n+1)(x)+m
d' ou f(n+1)(x)>=g(n+1)+(n+1)m
c ki fait f(n)(x)>=g(n)(x)+nm (qq n £ IN)
donc il y a un n(0) tel que (qq n >n(0) )
nm>=1=> g(n)(x)>=1 c ki ai impossible
car g:[0,1]-->[0,1]

mehdibouayad20 a écrit:

pour la sol de neutriono
pk f(p)=

mais on peutdeduire que : inf(f(p);g(p'))=<sup(f(p);g(p'))

khatir123 a écrit:

_Bigbobcarter_ a écrit:

nn c faut !la 2eme ligne tu peut trouver un contre exemple
il existe un nombre tel que sinx(cox)=cos(sinx) mais sinx#cosx

je te propose cet exercice :
montrer que pour tt x de IR on sinx(cosx)<cos(sinx)

khatir123 tu connais deja la epnse pour que tu me corrige ??

Salut !!
En dépit de la donnée qqs x£[0;1] fog(x)=gof(x),le fait que f et g soit continues de [0;1] vers [0;1] assure que le c existe.

posons h(x)=f(x)-g(x)
f continue donc il existe a et b £[0,1]² tel que f(a)=0 et f(b)=1
donc h(a)=-g(a) et h(b) = 1-g(b)
h(a).h(b) est de signe négatif ... donc ....
(sauf erreur bien entendu )

mé tu doit prouver quand même que 1-g(b) est sup a 0
pour le faire j'ai penser a g(x)
de la même maniere que tu as fé on peux avoir g(a)=0 et et g(b)=1 , le fait qui rend h(a).h(b) nul et non po inf a 0 tu vois...

c'est un exo de sup et spe?^^

nn cette exo est dans le livre
exo numero 89

mehdibouayad20 a écrit:

mé tu doit prouver quand même que 1-g(b) est sup a 0
pour le faire j'ai penser a g(x)
de la même maniere que tu as fé on peux avoir g(a)=0 et et g(b)=1 , le fait qui rend h(a).h(b) nul et non po inf a 0 tu vois...

On a g([0:1])=[0;1]

mehdibouayad20 a écrit:

• wé efefctivement d'où j'ai conclu ma réplique alorsce que tu as fé est faux malheureusement
  
• pour ceux qui disent que c'est un exo du sup je dit nn k'exo posté labas cé autre chose ac un donnée de + qui change le ts et en + traité d'une autre maniere mé celui ci c'est l'xo 89 page 44 d lmoufid
  

stp peux-tu préciser comment tu tires ta conclusion ?

peut tu prouver que 1-g(b) est sup a 0????
moi j'ai appliquer de la même maniere ce que tu as fé ac le f sur g et j'ai conclu

puiske l'image de [0;1] est [0;1]
qqs x £ [0;1] f(x) £ [0;1]
donc qqs x £ [0;1] 1-f(x) positif