continueté : Fonction spéciale !!!!!!!!

trouver toutes les fonctions continues sur IR soit:
f(2009)=2009^2008
et
pour chaque (x,t) £ IR² : f(x+t)=f(x)+f(t)

yassineno a écrit:

trouver toutes les fonctions continues sur IR soit:
f(2009)=2009^2008
et
pour chaque (x,t) £ IR² : f(x+t)=f(x)+f(t)

salut je crois que ça est deja posté et c'est rien puisque f est continue f(x) = ax /a£IR et puisque f(2009)=2009^2008 = 2009a ===> a=2009^2007
donc f(x) = (2009^2007) x

si tu veux la demo pr f(x)=ax je suis disponible et merci
__________________________________
LAHOUCINE

oui avec plaisir je veux la demonstration de f(x)=ax et merci d'avance

yassineno a écrit:

oui avec plaisir je veux la demonstration de f(x)=ax et merci d'avance

Pas de quoi Mr Yassine !!!

Voir cela:

on pose P(x;y) : f(x+y) = f(x) + f(y)

1) P(0;0) : f(0) = f(0) + f(0) ===> f(0)=0

2) P(x;-x) : f(0) = f(x) + f(-x) ==> f(-x) = -f(x) ===> f est impair


3) f(nx) = f(x + x + ... +x) = f(x) + f(x) + ....+ f(x) = nf(x)

donc on debutter d'abord la partie essentielle:

d'apres 3) on a x=1 ===> pr tt n£ IN : f(n) = nf(1) = an (a=f(1) £ IR)

et puisque f est impair donc f(-n) = - f(n) = -an = a(-n)
donc pr tt k£ Z f(k) = ak

soit d'abord (p;q)£ZxIN* tq r= p/q £ Q alors:

f(q r) = qf(r) = f(p) = p f(1) =ap (car p£IN)

alors qf(r) = ap ===> f(r) = a (p/q) = ar

alors pr tt x£Q on a f(x) = ax

d'abord en utilisant la densité de Q dans IR :

puisque Q est dense dans IR donc pr tt x£IR il existe une suite (x_n)_n d'éléments dans Q tq lim(n->+00) x_n = x alors on a

(x_n)£Q ==> f(x_n) = a x_n passons à la limite en prenant le fait où f est continue sur IR donc:

lim(n->+00)f(x_n) = f(lim(n->+00) x_n) = a lim(n-->+00) x_n

===> f(x) = ax pr tt x£IR et a=f(1) £ IR ...

CQFD
et merci

PS: deja cette équation fonctionnelle est connue sous l'equation fonctionelle de Cauchy
_________________________
LAHOUCINE

merci bcp