divergence des suites cos(n) et sin(n)

montrer que les suites cos(n) et sin(n) divergent

les deux fonctions n-->cos(n) et x--->sin(n)
n'admettent pas une limite à +infinie
alors on la demontrer par recurrence

Supposons que sin(x) --->L , Pour tte suite (Xn) tq Xn-->+oo , sinXn ---> L
mais sin(2pin)=0 et sin(2pin+pi/2)=1 d'où L=0 et L=1

ABSURDEEEEEEEEEEEEEEEEEE

les foctions cos(x) et sin(x) n'ont pas de limites

Pink-Floyd a écrit:

les foctions cos(x) et sin(x) n'ont pas de limites

En +oo !

oui en +oo

salut il y'a pluseurs methodes pour la demontrer:
alors je prefere la ligere donc.
il est clair que toute fonction ne converge pas et divergente
on suppose que n->cos(n) convergente alors elle admet une limite C et on sait qu'une suite admet une limite alots cette limite est unique (l'unicité de la limite)
et puisque: cos(n)=2cos²(n/2)-1.
passons à la limite: C=2C²-1==> 2C²-C-1=0 ==> C=-1/2 ou C=1.
alors absurde (car la suite peut avoir les deux limites differentes)
la meme chose pour n->sin(n).
C.Q.F.D.
___________________________________________________________________
LaHoUcInE
@++

merci mathema

pas de quoi mon ami.
cest mon devoir!!!
___________________________________
lahoucine

mathema a écrit:

.......
il est clair que toute fonction ne converge pas et divergente
on suppose que n->cos(n) convergente alors elle admet une limite C et on sait qu'une suite admet une limite alots cette limite est unique (l'unicité de la limite)
et puisque: cos(n)=2cos²(n/2)-1.
passons à la limite: C=2C²-1==> 2C²-C-1=0 ==> C=-1/2 ou C=1.
alors absurde (car la suite peut avoir les deux limites differentes)...

BJR Lahoucine !!
Je me vois DSL de te le dire..... C'est mon Devoir de ne pas laisser trainer des ERREURS aussi profondes ( que les P'Tits Gars ne décèlent pas et acceptent pour argent comptant ) sur le Forum !!!!
Le fait de trouver pour C deux valeurs possibles ne te permet pas de conclure à une absurdité en invoquant le principe de l'Unicité de la Limite quand elle existe !!
En fait , tu ne disposes pas de suffisamment de données pour conclure .....

Voilà COMMENT IL FAUT PROUVER l'exercice !!
Ona cos^2(n)+sin^2(n)=1 pour tout entier n
Cette identité nous permet de conclure que les deux suites {cos(n)}n et {sin(n)}n sont :
Toutes les DEUX convergentes
OU ( exclusif )
Toutes les DEUX divergentes
Si on suppose que ces DEUX suites sont convergentes alors , ayant noté ,
C= Lim cos(n) et A=Lim sin(n) lorsque n----->+oo
On écrit les deux formules ( addition et soustraction ) pour le cos(.) :
cos(n-1)=cos(1).cos(n) + sin(1).sin(n)
cos(n+1)=cos(1).cos(n) - sin(1).sin(n)
pour tout entier naturel n .
Puis on fait tendre n vers +oo pour obtenir le système :
C=cos(1).C + sin(1).A
C=cos(1).C - sin(1).A
Par addition et soustraction , celà conduira à la solution unique C=A=0 puisque cos(1)<>1 et sin(1)<>0 et cette conclusion est INCOMPATIBLE avec la relation C^2+A^2=1 que l'on obtient quand on fait n---->+oo dans l'identité :
cos^2(n)+sin^2(n)=1 pour tout entier n

Par conséquent les deux suites {cos(n)}n et {sin(n)}n sont divergentes .

En plus de tout ça c'est deja posté.

oui vous avez tout a fait raison Oeil_de_Lynx,il nya rien d'absurde la dedans vu que C=-1/2 ou C=1 ne veut en aucun cas dire que C=-1/2 et C=1.

Oeil_de_Lynx a écrit:

mathema a écrit:

.......
il est clair que toute fonction ne converge pas et divergente
on suppose que n->cos(n) convergente alors elle admet une limite C et on sait qu'une suite admet une limite alots cette limite est unique (l'unicité de la limite)
et puisque: cos(n)=2cos²(n/2)-1.
passons à la limite: C=2C²-1==> 2C²-C-1=0 ==> C=-1/2 ou C=1.
alors absurde (car la suite peut avoir les deux limites differentes)...

BJR Lahoucine !!
Je me vois DSL de te le dire..... C'est mon Devoir de ne pas laisser trainer des ERREURS aussi profondes ( que les P'Tits Gars ne décèlent pas et acceptent pour argent comptant ) sur le Forum !!!!
Le fait de trouver pour C deux valeurs possibles ne te permet pas de conclure à une absurdité en invoquant le principe de l'Unicité de la Limite quand elle existe !!
En fait , tu ne disposes pas de suffisamment de données pour conclure .....

Voilà COMMENT IL FAUT PROUVER l'exercice !!
Ona cos^2(n)+sin^2(n)=1 pour tout entier n
Cette identité nous permet de conclure que les deux suites {cos(n)}n et {sin(n)}n sont :
Toutes les DEUX convergentes
OU ( exclusif )
Toutes les DEUX divergentes
Si on suppose que ces DEUX suites sont convergentes alors , ayant noté ,
C= Lim cos(n) et A=Lim sin(n) lorsque n----->+oo
On écrit les deux formules ( addition et soustraction ) pour le cos(.) :
cos(n-1)=cos(1).cos(n) + sin(1).sin(n)
cos(n+1)=cos(1).cos(n) - sin(1).sin(n)
pour tout entier naturel n .
Puis on fait tendre n vers +oo pour obtenir le système :
C=cos(1).C + sin(1).A
C=cos(1).C - sin(1).A
Par addition et soustraction , celà conduira à la solution unique C=A=0 puisque cos(1)<>1 et sin(1)<>0 et cette conclusion est INCOMPATIBLE avec la relation C^2+A^2=1 que l'on obtient quand on fait n---->+oo dans l'identité :
cos^2(n)+sin^2(n)=1 pour tout entier n

Par conséquent les deux suites {cos(n)}n et {sin(n)}n sont divergentes .

Salut Mr LHASSANE :
comme je t'ai compris que si (a(n))²+(b(b))²=c£IR alors les suites (a(n)) et (b(n))n ont la meme nature....
je crois pas ça car en effet:
posons u(n)=1/rac(2) (suite constante=suite geometrique de raison 1=suite arith. de raison 0).
et v(n)=[(1)^n]/rac(2).
il est clair que (u(n))²+(v(n))²=1.
mais u(n) et v(n) ont la nature differentes (u(n)-->1/rac(2) et v(n) est divergente).
______________________________________________________________________________
LaHoUcInE
@++

DSL faute de tapage:
v(n)=((-1)^n)/rac(2).
merci

Oeil_de_Lynx a écrit:

Ona cos^2(n)+sin^2(n)=1 pour tout entier n
Cette identité nous permet de conclure que les deux suites {cos(n)}n et {sin(n)}n sont :
Toutes les DEUX convergentes
OU ( exclusif )
Toutes les DEUX divergentes

BJR Lahoucine !!
Il est évident que tu n'as pas compris ma démarche !! N'oublies pas que Moi ,
je travaille toujours avec les suites {cos(n)}n et{sin(n)}n !!!!!!!

Ces deux suites vérifiant la relation cos^2(n)+sin^2(n)=1 pour tout entier naturel n , SONT DE MEME NATURE .
Je n'ai JAMAIS prétendu que celà était vrai pour toute autre paire de suites ; il est certain que c'est même faux !!
Deux suites {an}n et {bn}n de réels vérifiant an^2+bn^2=1 pour tout entier n peuvent être de nature différente , tu as toi-même donné un exemple !!!
On est d'accord maintenant !
N'y vois aucune animosité contre Toi de ma part !!
J'ai pensé bien faire , mais dans le cas ou tu ne veux plus que je te fasse des observations , tu me le dis !!

cf https://mathsmaroc.jeun.fr/analyses-f4/demonstration-de-la-non-existence-de-lim-cosn-t5872.htm

merci mahdi pour le lien et merci ODL pour la reponse