jolie resultat

On considere trois points A(a) et B(b) et C(c) dans le plan complexe

Montrer que ABC triangle équilatéral <====>a² + b² + c² -ab -ac -bc =0

Bonne chance

salam

je pose u = e^i(pi/3) ====> u^2 = j (nombre connu)

v = conjugué(u) ====> v^2 = conj(j)

on suppose ABC de sens direct.

on peut considérer la rotation de centre A : B-------> C

=====> c-a = u(b-a) ===> (c-a)^2 = j(b-a)^2

la rotation de centre B : A-------> C

=====> c-b = v(a-b) ===> (c-b)^2 = conj(j).(a-b)^2

(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2[ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca ]

= (a-b)^2.[ 1 + j + conj(j) ] = 0

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je continue la réciproque:

on peut par translation ramener A à l'origine ==>a=0

si b^2 - bc + c^2 =0

résolvons en b:

delta = -3c^2

b = (c + icV3)/2 = u.c ===> B = l'image de C par la rotation de centre O(=A) et d'angle pi/3. ======> ABC équilatéral direct.

ou bien : b = (c-icV3)/2 ===> B= l'image de C par la rotation de centre O(=A) et d'angle -pi/3 ===> ABC est équilatéral indirect.


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