Un Exo ' Very Hard ' sur le TVI extrait d'Al-Moufid .....

BJR à Toutes et Tous !!

Je vous propose celui-ci , extrait d'Al-Moufid . Il s'agit de l'Exercice Numéro 92 Page 44 que j'ai modifié .
Ma traduction Française donnerait :

<< Soit f une application définie et continue sur IR+
et à valeurs dans IR+ .
On suppose que Lim {f(x)/x} quand x---->+oo existe et vaut k
et que k<1
Montrer que l'équation :
f(x)=x
admet au moins une solution dans IR+ >>

En cas de besoin d'indications , je suis disponible à rajouter des questions
supplémentaires pouvant vous guider .....

PS: Pour maye ! Merci beaucoup , j'ai rectifié !!
Maoujibia c'est comme Ijabi =Positif Je ne le savais pas !!

on pose g(x)=f(x)-x(continue sur R+
on a limf(x)/x<1(x-->+oo)sa vt dire limf(x)/x-1<0
alors limx(f(x)/x-1)=-oo(x--->+oo)se ki vaut limf(x)-x=-oo
alors limg(x)=-oo(x--->+oo) d'après la définition de cette limite (kelk soit A>0 ;ilexiste B>0;pr tt x de Df)on trouve quex>B=>g

(x)<-A
prenant x=B+1 alrs g(B+1)<-A<0
alors on a g(0)=f(0)>0 et g(B+1)<0
alrs selonTVI il existe un c de [0,B+1] tels que g(c)=0
donc il existe un c de R+ tels que f(x)=x



P.S:au manuel almoufid on a f(x) est positive pr tt x de R+

Salut tt le monde,,
Deja posté .Par ici :https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/l-equation-fx-x-admet-une-solution-t44.htm

mq 1+1=2

imane20 a écrit:

Salut tt le monde,,
Deja posté .Par ici :https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/l-equation-fx-x-admet-une-solution-t44.htm

desolé mes ta solution est fausse revoir la lign 3

Salut taoufik_mp,,

Merci pr la remarque mm si la solution n pa la mienne c de Samir

je voi pa k il existe une faute sauf k il manke un -A.

imane20 a écrit:

Salut tt le monde,,
Deja posté .Par ici :https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/l-equation-fx-x-admet-une-solution-t44.htm

Je suis navré !!! Je n’ai pas l’habitude de faire cela !!!
Pour la Démo , celle de SAMIR suffira .
Maintenant , dans le texte originel d’Al-Moufid , il est dit que
Lim{x---->+oo ; f(x)/x }=1 .
Le Problème est faux dans ce cas !!
Voici un contre-exemple :
Soit f l’application suivante définie ainsi :
f(x)=2 si 0<=x<=1 ,
f(x)=x+(1/x) si x>1
Alors f est une application continue de IR+ dans IR+
Vérifie Lim{x---->+oo ; f(x)/x }=1 MAIS n’admet pas de point fixe dans IR+.
C’est pour cette raison que l’énoncé d’origine a été modifié ainsi:
Lim{x---->+oo ; f(x)/x }=k<1

PS : Merci maye !! J'ai rectifié l'énoncé !!

un autre contre exemple

f(x)= 2+x

f(x)/x= 2/x+1

lim f(x)/x (x----->+00)=1

f(x)=x equivalent a x=2+x d'ou 2=0 impossible

l'ennonce tel qu'il est sur el moufid est faux