Inégalité sur les côtés d'un triangle.

si a,b et c sont les mesures des cotés d'un triangle tels que a+b+c=1
Montrer que

EDIT par mathman : le titre original ("beaurifal....") ne voulait rien dire. Merci d'éviter l'utilisation de ce genre de titres à l'avenir.

On pose a = x+y, b = y + z, et c = x + z, avec x, y et z réels strictement positifs.
alors a + b + c = 1 devient x + y + z =1/2, et le terme de gauche de l'inégalité se transforme de la façon suivante:

(x + y)² + (y + z)² + (x + z)² + 4(x+y)(y + z)(x + z)

= (1/2-z)² + (1/2 - x)² + (1/2 - y)² + 4(1/2 - z)(1/2 - x)(1/2 - y)

=1/4 - z + z² + 1/4 - x + x² + 1/4 - y + y² + 4( 1/8 + 1/2xy + 1/2xz + 1/2 yz - 1/4(x + y + z) - xyz)

= 1/4 + x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 4xyz

=1/4 + (x + y + z)² -4xyz

=1/2 - 4xyz

< 1/2
car x, y, z strictement positifs.

NB: Par contre, il faut préciser que le triangle est non-dégénéré, car sinon il peut y avoir égalité.

Tsuki a écrit:

On pose a = x+y, b = y + z, et c = x + z, avec x, y et z réels strictement positifs.

je me demande comment vous avez poser que a = x+y, b = y + z, et c = x + z
est 'il un théorem dans le triangle?
et merci

Non
c'est une methode utile et puissante pour démontrer des inégalité avec des cotés de triangle

samir a écrit:

Non
c'est une methode utile et puissante pour démontrer des inégalité avec des cotés de triangle

merci monsieur samir pour votre réponse ... donc on peut la géneraliser pour résoudre des promblém semblable
est t'il vrai a touts les cas
et merci

Nouvelle question : prouver
pour tout x inferieur à 6

prouvez que pour tout x<6 on a :
a²+b²+c²+xabc<1
a+b+c=1 ===> (a+b+c)²=1 ===> a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.

a²+b²+c²+xabc<1 <=> a²+b²+c²+xabc<a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.
===> xabc<2ab+2bc+2ac.
on a x<6 ==> x/3 <2 ==> -x/3>-2 ==> -xabc/3>-2abc
===> 2ab -xabc/3>2ab-2abc=2ab(1-c).
2ab>0 et 1-c>0 (puisque a,b,c>0 et a+b+c=1 donc c<1)
donc 2ab(1-c)>0 ===> 2ab -xabc/3>0 ==>2ab>xabc/3
de la meme façon on obtient: 2ac>xabc/3 et 2bc>xabc/3.
en faisant la somme on obtient: xabc<2ab+2bc+2ac.
donc a²+b²+c²+xabc<1 pour tout x<6.