Equation avec partie entière.

Soit x un nombre réel et [x] représente sa partie entière
Résoudre l’equoition [x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345.

EDIT par mathman : Une fois de plus, tu as utilisé un titre qui ne veut rien dire ("joplie"). C'est la dernière fois que je te préviens et que je change tes titres. Dorénavant, si les titres sont similaires, les messages seront supprimés sans avertissement préalable.

désoléé mathman

cf. tes messages privés.

Quant au problème en lui-même, il n'y a pas de solutions.

(si personne ne trouve de preuve avant, disons, une semaine (ce dont je doute fortement ^^), je mettrai ma preuve)

On peut vérifier facilement que si x >= 196, le membre de gauche est supérieur ou égal à 12348.
Maintenant, s'il est strictement inférieur à 196: On remarque que pour 195,99, le membre de gauche vaut 12342.
On pose x = 196 -a , avec a réel tel que 0 < a < 0,01
alors
[196-a] + [2(196 -a)] + [4(196 -a)] + [8(196 -a)] + [16(196 -a)] + [32(196 -a)]

= [196 - a] + [392 - 2a] + [784 - 4a] + [1568 - 8a] + [3136 - 16a] + [6272 - 32a]
Or on a 32a < 1 car a < 0,01
Donc l'expression ci-dessus vaut
195 + 391 + 783 + 1567 + 3135 + 6271 =12342.

si x < 196, le membre de gauche de l'équation vaut donc toujours au plus 12342. L'équation n'a donc pas de solutions.

Bonjour Tsuki,

Belle démonstration !
Parfaitement juste.

On peut l'améliorer un tout petit peu :
1) rappeler pour plus de clarté que f(x) = [x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x] est une fonction croissante (ce que tu utilises sans le dire)

2) Tu n'as même pas besoin de calculer f(195,99) : Tu as démontré que f(196-x) = 12342 pour tout x < 1/32.

Donc : f croissante + f(x) = 12342 sur ]196-1/32,196[ et f(196) = 12348 suffit à atteindre le résultat.

Bravo.


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Patrick