on considere la fonction
f(x)=2x/pi*tan(pi/2x) x e ]0.1[
f strictement croissante car
a>b ==>pi/2a>pi/2b=>tan(pi/2a)>tan(pi/2b) car pi/2a et pi/2b e ]0.pi/2[
=>f(a)>f(b)
et on a f continue sur ]0.1[ car produit de deux fonctions continues sur ]0.1[
donc f bijection de ]0.1[vers ]0.+00[ comme 1/n e ]0.+00[
alors il existe un unique an de ]0.1[/f(an)=1/n==>
2n*an*tan(pi/2an)=pi
2/on sait que qqsoit n de N* 1/n+1<1/n=+>f(an+1)<f(an) et f strictement croissante sur ]0.1[ donc an+1<an
3/2/xarctan(pi/2nx)=pi==>arctan(pi/2nx)=pi/2*x
pi/2x e ]-pi/2.pi/2[ donc
pi/2nx=tan(pi/2x*)==>2nxtan(pi/2*x)=pi et on sait que an est la seul et unique solution de cet equation
sauf erreur
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