equation fonctionnelle dans Q

trouver toutes les fonctions f de Q+ dans Q+ telles que :
1) f(x+1)=f(x)+1
2) f(x²)=f(x)²

bonne chance à tous

Bonjour,

On a bien sûr f(x+n) = f(x) + n pour tout n de N.

Pour p et q entiers naturels (q non nul)

f((p/q + q)^2) = (f(p/q + q))^2 = (f(p/q) + q)^2 = f(p/q)^2 + 2qf(p/q) + q^2

Mais f((p/q + q)^2) = f((p/q)^2 + 2p + q^2) = f((p/q)^2) + 2p + q^2 = f(p/q)^2 + 2p + q^2

Donc f(p/q)^2 + 2qf(p/q) + q^2 = f(p/q)^2 + 2p + q^2
Donc 2qf(p/q) = 2p
Donc f(p/q) = p/q

Donc f(x) = x sur Q+

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Patrick