Faisons un peu d'algebre lineaire

Bonjour

je propose ces simples exos..
Exo 1 :

Montrer que toute matrice carré s'ecrit sous forme de deux matrices inversibles

Exo 2 :

Montrer que toute matrice est la somme d'une matrice symetrique et d'une matrice antisymetrique.

Exo 3 :

Soit p et q deux projecteurs de E ev

Montrer que : Im(p+q)=Im(p)+Im(q) (somme directe)

Ker(p+q)=Ker(p) (intersection) Ker(q)

Mn(K) : Ensemble des matrices carrées d'ordre n a coefficients dans K

Exo 4 :

Montrer que tout hyperplan de Mn(K) contient une matrice inversible.


Exo 5 :

Determiner l'ensemble des matrices M de Mn(K) tq : M^2=0

Exo 6 :

Soit A de Mn(K) nilpotente

Montrer que kksoit k de N* :

tr(A^k)=0 <=> A=0

Exo 7 :

Soient f et g deux endomorphismes d'un C-espace vectoriel de dimension finie. On suppose que g est diagonalisable et inversible, et qu'il existe un entier k tel que f^k = g. Prouver que f est diagonalisable.

Ex1: A= (A-xI)+xI avec x#0 et x en dehors du spectre de A qui est compact

Ex2: A=(A+tA)/2 +(A-tA)/2 où tA la transposée de A

Ex3: Soit x, x' €E , p(x)+q(x')=(p+q)(p(x)+q(x')) il manque l'hypothèse poq=qop=0

Ex4: Déjà postée ( Cours)

Ex5: A²=0 ==> ImACKerA ==> rgA=<n/2 ou rg(A)=0
Si r=rgA#0 alors en prenant une base de KerA adaptée à ImA et on complète ensuite en une base de E ==> A est semblable à
|0 Ir|
|0 0 | avec Ir€Mr(IK)

Ex6: On utilise le déterminant de Van Dermonde

Ex: Cours