suite !! (1+1/n)^n <3 pour tout n de N

salut !!
démontrer que :
(1+1/n)^n <3 pour tout n de N* .

Titre édité by "exodian95"

Bonsoir !
on a exp(n*ln(1+1/n)) equivalent à exp(1),
or e=2,71 < 3
c.q.f.d

deso mais pas encore fais les exp
mais je pense que ca peux marcher avec la recurance

également

youssef_1405@hotmail.fr a écrit:

Bonsoir !
on a exp(n*ln(1+1/n)) equivalent à exp(1),
or e=2,71 < 3
c.q.f.d

L'équivalence, ça n'a lieu d'être qu'en voisinage de l'infini....
(n+100000000000000000000000000000)/n, c'est équivalent à 1, pourtant...

charaf exp a écrit:

salut !!
démontrer que :
(1+1/n)^n <3 pour tout n de N* .

BJR à Toutes et Tous !!!
En ce qui me concerne , je doute que la RECURRENCE soit facile à faire !!
Je pense , par contre , qu'il faille étudier les variations de l'application f définie par :
x ---------> f(x)={1+(1/x)}^x = exp{x.Ln(1+(1/x))}
sur ]0;+oo[
Il s'agira de montrer que f est MAJOREE par 3 sur Df .
Et je constate aussi que la connaissance des fonctions exp(.) et Ln(.) serait indispensable pour appliquer cette méthode !!!!

Si RECURRENCE marche , je suis preneur bien sûr !!!

pour n=1
on a 2<3
donc l'ennoncée est vraie pour n=1
supposant que (1+1/n) a la puissance de n <3 et demontrant que (1+1/n+1)a la puissance de n+1<3:
on a (1+1/n+1) a la puissance de n+1 = (1+1/n)*(1+1/n) puissance de n
on a de la suppsition de recurence que (1+1/n) puissance de n <3
donc (1+1/n+1) puissance de n+1 < 3+3/n
et puisque 3/n<3
donc (1+1/n+1) puissance de n+1<3
alors quelque soit n de N* (1+1/n) puissance de n <3

salut tout le monde:
on a : 1<3 =>1<3^(1/n)
=> 0<3^(1/n)-(1+(1/n))
on a 0<1+(1/n)

donc 0<A^(n-1)+A^(n-2).B+....+B^(n-1)
tel que A=3^(1/n) et B=1+(1/n)
alors 0< (A-B).(A^(n-1)+A^(n-2).B+....+B^(n-1))
" 0<A^n-B^n
donc 0<3-(1+(1/n))^n
alors on déduis que: (1+1/n)^n <3

awtil_80 a écrit:

pour n=1
on a 2<3
donc l'ennoncée est vraie pour n=1
supposant que (1+1/n) a la puissance de n <3 et demontrant que (1+1/n+1)a la puissance de n+1<3:
on a (1+1/n+1) a la puissance de n+1 = (1+1/n)*(1+1/n) puissance de n
on a de la suppsition de recurence que (1+1/n) puissance de n <3
donc (1+1/n+1) puissance de n+1 < 3+3/n
et puisque 3/n<3
donc (1+1/n+1) puissance de n+1<3
alors quelque soit n de N* (1+1/n) puissance de n <3

zakarya a écrit:

salut tout le monde:
on a : 1<3 =>1<3^(1/n)
=> 0<3^(1/n)-(1+(1/n))
on a 0<1+(1/n)

donc 0<A^(n-1)+A^(n-2).B+....+B^(n-1)
tel que A=3^(1/n) et B=1+(1/n)
alors 0< (A-B).(A^(n-1)+A^(n-2).B+....+B^(n-1))
" 0<A^n-B^n
donc 0<3-(1+(1/n))^n
alors on déduis que: (1+1/n)^n <3

stp si tu pouvais demontrer ceci ,je crois que tu aurais fait l'exercice
tu as utilise ce que tu dois demontrer ,j'espere que je ne me trompe pas

soit an=(1+1/n)^n

par AM-GM : (1+1/(n-1))^{n-1}=<((n-1)(1+1/(n-1)))+1)/n)^n=(1+1/n)^n

donc a{n-1}=<an donc an est croissante

donc an=<a{6n}

montrons que a{6n}=<3

on a : (6n/(6n+1))^n=(1-1/(6n+1))^n>=1-n/(6n+1)=5n+1/6n+1>5/6

donc a{6n}=(1+1/6n)^{6n}={(6n+1)/6n}^{6n}<(6/5)^6=2.98...<3

donc an=<a{6n}<1

j ai fait une autre methode uniquement avec Bernoulli :

posons k=1/n , donc (1+k)^{1/k}<3

<==> 3^k>(1+k)

or 3^k=(1+2)^k>=1+2k>1+k

tarajo3 makhadamch?

dsl zakarya mais je crois que tu as trompé

oui il y'a qlq chose qui ne va pas