Inégalité 04

soit a, b >0 tels que a+b=1. Montrer que a²/(a + 1)+b²/(b + 1)>= 1/3

Bonjour abdelbaki;
Pour tout réel x#-1 on a
x²/(x+1) = x - 1 + 1/(x+1) d'où
a²/(a+1) + b²/(b+1) = 1/(a+1) + 1/(b+1) - 1
La fonction f : x ==> 1/(x+1) , x > -1 étant convexe on a
f(a) + f(b) >= 2 f((a+b)/2) = 4/3
Bonus cas d'égalité : a=b=1/2 (sauf erreurs bien entendu)

application directe de cauchy-schawrtz: S= a²/(a + 1)+b²/(b + 1)
S(a+1+b+1)>=(a+b)²
S*3>=1
d ou S>=1/3