Exo interessant de fonction ....!!!

alors je fermerai le sujet par une petite démonstration que:
pr tt y£IR et pr tt x£IR: f(yx)=xf(x).
Proposition:
" soit E et F deux ensembles on dit que F dense dans E si l'adhérence de F egale à E.
autrement dit F dense dans E s'il existe une suite d'elements de F qui converge vers E"

en effet Q est dense dans IR car:
soit x(n)=E(x10^n)/10^n alors il est clair que x(n)£Q on a alors: x(n)-->x (x£IR).
alors Q dense dans IR.
il est aussi facile à démontrer que f est continue sur IR. donc
on pose y(n) une suite de Q qui converge vers y£IR alors:
f(y(n)x)=y(n)f(x) passons à la limite on trouve que:
f(yx)=yf(x) pr tt x£IR.
*) donc elle est valable aussi dans IR.
alors CONCLUSION:
f(xy)=xf(y)=f(x).f(y) ==> f(x)=x.
c'est ma réponse finale.
merci à tous .
___________________________________________________________
LaHoUcInE
@++

LE sujet est TOUJOURS OUVERT !!!!

mathema a écrit:

alors je fermerai le sujet par une petite démonstration que:
pr tt y£IR et pr tt x£IR: f(yx)=xf(x).
Proposition:
" soit E et F deux ensembles on dit que F dense dans E si l'adhérence de F egale à E.
autrement dit F dense dans E s'il existe une suite d'elements de F qui converge vers E"

en effet Q est dense dans IR car:
soit x(n)=E(x10^n)/10^n alors il est clair que x(n)£Q on a alors: x(n)-->x (x£IR).
alors Q dense dans IR.
il est aussi facile à démontrer que f est continue sur IR. donc
on pose y(n) une suite de Q qui converge vers y£IR alors:
f(y(n)x)=y(n)f(x) passons à la limite on trouve que:
f(yx)=yf(x) pr tt x£IR.
*) donc elle est valable aussi dans IR.
alors CONCLUSION:
f(xy)=xf(y)=f(x).f(y) ==> f(x)=x .. ..

Je sui encor DZL Lahoucine & surtout ne te fâches pas , on fé des bonnes maths par ici!
Tu rev1 tjrs à mes observassions ( j'ai déjà signalé tout ssa !!! )
D'abord tu utilises la densité de Q dans IR
ensuite tu utilises la continuité de f partout qui rézulterait de la continuité de f en ZERO , laquelle hypothèse semble avoir été oubliée par l'auteur de l'exo !!!!
Ce qui me fait encore penser que l'exo posé contient bcp de lakunes et qu'il ne peut être résolu que par les BACSM ( et enkor !! ) ou les Sup !!!

miss-Design a écrit:

saluut !!
un Exo de la leçon : généralités sur les fonctions
-----------------------
soit ƒ une fonction , tel que :
ƒ(x.y)=ƒ(x).ƒ(y)
ƒ(x+y)=ƒ(x)+ƒ(y)

(( pour tout (x,y) £ R^2 ))
______

montrez que :
f est identiquement nulle sur IR ou
si f(1)<>0 et f continue en ZERO alors pour tout x de R ;
ƒ(x)=x
--------------------
Indication : on pourra utiliser la densité de Q dans IR

En réalité et excuzé mes intervenssions !
Voilà komen miss-Design oré du rédiger son énonssé !!
Jé rajouté en bleu ce kil fallé !!!!!!!!

saluut pour tous
j'ai oublié de dire que f est une application bijective
voilà ma réponse :
je montre pour tout n de IN que f(n)=n
et c simple par récurrence !!
car f(1)=f(1)^2
donc f(1)=1 ou f(1)=0
et on sait que f(0)=f(0)+f(0) alors f(0)=0
alors f(1)=1 ((f est bijective ))
-------------------------------
je passe après à montrer que pour tout a de Z f(a)=a
on sait que pour Z+ f(a)=a
et pour a £ Z- (-a)£ IN alors f(-a)=-a
f(-a)=f(-1)*f(a)
alors -a=f(a)*f(-1)
et on montre que f(-1)=-1
puisque : f(1)=f(-1)^2 alors f(-1)=1 ou f(-1)=-1
f est bijective alors f(-1)=-1
---------------------
après cela on passe à Q soit r£ Q donc E(a,b)£ Z×Z*
soit r=a/b
alors a=b*r
f(a)=f(b)*f(r)
a=b*f(r) => f(r)=a/b=r
-------------
enfin à l'aide de la densité de Q dans R
on trouve que pour tout x de R f(x)=x
j'ai utilisé l'absurde
je suppose que Ex£ IR tel que f(x)<> x
je traite deux cas : f(x)>x et f(x)<x
1er cas : f(x)>x alors E r £ Q tel que x<r <f(x)
2eme cas f(x)<x alors Er£Q tel que f(x)<r <x
-------------
(( je montre à part que f est croissante ))
f(x^2)=f(x)^2
alors pour tout x de IR+ f(x)>=0
alors x>y => E a £ IR* + tel que x=a+y
f(x)=f(a)+f(y)
donc f(x)-f(y)=f(a) et f(a) >0
---------
le 1er cas je trouve que x<r => f(x)<f(r) =>f(x)<r
alors f(x)<r<f(x) et c'est impossible
et aussi dans le 2ème cas : x>r =>f(x)>r
alors f(x)<r<f(x) et c'est aussi impossible
donc pour tout r de IR f(x)=x
----
sauf s'il y a une faute
et je crois que c'était aussi l'idée de lotus bleu et d'autres !!
pour la continuité on l'a pas encore etudié alors on peut pas solutionner l'exercice avec elle !!!

salut Lotus_Bleu :
est ce que c'est déficile de montrer la continuité de f sur IR????
c'est trivial est simple!!!!!!

alors je crois que ça est tres loin de programme de premiere BACSM (1BAc) malgré qu cette sujet a posé mille fois dans ce forum.
______________________________________________________
LaHoUciNE
@+-+

alors je montre la continuité :
il est clair que f est croissante.
soit y£IR:
pr tt x£IR :pr tt e>0 il existe n>0 tq: |x-y|<n ==> f(|x-y|)<f(n) ==> |f(x-y)|<f(n) ==> |f(x)-f(y)|<f(n).
on pose e=f(n) (car f(0)=0 donc f est negligeable au voisinnage de 0).
alors |f(x)-f(y)|<e.
d'où la continuité de f.
_________________________________________________
lahoucine

miss-Design a écrit:

saluut pour tous
j'ai oublié de dire que f est une application bijective
voilà ma réponse :
je montre pour tout n de IN que f(n)=n
et c simple par récurrence !!
car f(1)=f(1)^2
donc f(1)=1 ou f(1)=0
et on sait que f(0)=f(0)+f(0) alors f(0)=0
alors f(1)=1 ((f est bijective ))
-------------------------------
je passe après à montrer que pour tout a de Z f(a)=a
on sait que pour Z+ f(a)=a
et pour a £ Z- (-a)£ IN alors f(-a)=-a
f(-a)=f(-1)*f(a)
alors -a=f(a)*f(-1)
et on montre que f(-1)=-1
puisque : f(1)=f(-1)^2 alors f(-1)=1 ou f(-1)=-1
f est bijective alors f(-1)=-1
---------------------
après cela on passe à Q soit r£ Q donc E(a,b)£ Z×Z*
soit r=a/b
alors a=b*r
f(a)=f(b)*f(r)
a=b*f(r) => f(r)=a/b=r
-------------
enfin à l'aide de la densité de Q dans R
on trouve que pour tout x de R f(x)=x
j'ai utilisé l'absurde
je suppose que Ex£ IR tel que f(x)<> x
je traite deux cas : f(x)>x et f(x)<x
1er cas : f(x)>x alors E r £ Q tel que x<r <f(x)
2eme cas f(x)<x alors Er£Q tel que f(x)<r <x
-------------
(( je montre à part que f est croissante ))
f(x^2)=f(x)^2
alors pour tout x de IR+ f(x)>=0
alors x>y => E a £ IR* + tel que x=a+y
f(x)=f(a)+f(y)
donc f(x)-f(y)=f(a) et f(a) >0
---------
le 1er cas je trouve que x<r => f(x)<f(r) =>f(x)<r
alors f(x)<r<f(x) et c'est impossible
et aussi dans le 2ème cas : x>r =>f(x)>r
alors f(x)<r<f(x) et c'est aussi impossible
donc pour tout r de IR f(x)=x
----
sauf s'il y a une faute
et je crois que c'était aussi l'idée de lotus bleu et d'autres !!
pour la continuité on l'a pas encore etudié alors on peut pas solutionner l'exercice avec elle !!!

lah e3tek saha ! mais tu aurais du ajouter la condition f bijective(ou simplement injective) et attendre la suite du debat !

merci et e n'est pas grave !!!
en tt cas j'ai vu que la plupart des solutions sont destinés à des niveaux plus supérieurs, c'est pour cela qu j'ai posté la mienne !

mathema a écrit:

alors je fermerai le sujet par une petite démonstration que:
pr tt y£IR et pr tt x£IR: f(yx)=xf(x).
Proposition:
" soit E et F deux ensembles on dit que F dense dans E si l'adhérence de F egale à E.
autrement dit F dense dans E s'il existe une suite d'elements de F qui converge vers E"
en effet Q est dense dans IR car:
soit x(n)=E(x10^n)/10^n alors il est clair que x(n)£Q on a alors: x(n)-->x (x£IR).
alors Q dense dans IR.
il est aussi facile à démontrer que f est continue sur IR. donc
on pose y(n) une suite de Q qui converge vers y£IR alors:
f(y(n)x)=y(n)f(x) passons à la limite on trouve que:
f(yx)=yf(x) pr tt x£IR.
*) donc elle est valable aussi dans IR.
alors CONCLUSION:
f(xy)=xf(y)=f(x).f(y) ==> f(x)=x.
c'est ma réponse finale.
merci à tous .
_______________
LaHoUcInE
@++

si tu le permis corrige la partie en rouge!!!

mathema a écrit:

alors je montre la continuité :
il est clair que f est croissante.
soit y£IR:
pr tt x£IR :pr tt e>0 il existe n>0 tq: |x-y|<n ==> f(|x-y|)<f(n) ==> |f(x-y)|<f(n) ==> |f(x)-f(y)|<f(n).
on pose e=f(n) (car f(0)=0 donc f est negligeable au voisinnage de 0).
alors |f(x)-f(y)|<e.
d'où la continuité de f ....

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Lahoucine !!
Ecoutes-moi , ce que tu as écrit ressemble à tout ce que tu veux SAUF à la continuité de f au point y !! J'ai beau lire et relire , celà ne tient pas la route !
Il y a moyen de s'en passer ..... avec seulement la STRICTE CROISSANCE de f et la densité de Q dans IR !!!!!
Voilà comment et celà peut intéresser miss-Design :
Soit x dans IR fixé , par densité de Q dans IR et grâce à la chirurgie dans IR , on peut fabriquer deux suites strictement monotones {Rn}n et {Sn}n de rationnels CONVERGENTES TOUTES LES DEUX vers x et telles que :
{Rn}n est croissante ,
{Sn}n est décroissante ,
et pour chaque entier naturel n , on ait Rn<x<Sn
En raison de la croissance de f , on peut écrire :
pour chaque n , f(Rn)<=f(x)<=f(Sn)
Or f(Rn)=Rn et f(Sn)=Sn puisqu'il s'agit de rationnels
ainsi Rn<=f(x)<=Sn
On passe aux limites quand n----->+oo et on utilise le Théorème des Gendarmes pour conclure que f(x)=x
et puis c'est tout !!!

mathema a écrit:

....
Proposition:
" soit E et F deux ensembles on dit que F dense dans E si l'adhérence de F egale à E.
autrement dit F dense dans E s'il existe une suite d'elements de F qui converge vers E".........

Lut Lahoucine !!
Excuze mon inpertinence mais je kroi ke :
F est dense dans E
si tout élément x de E est limite d'une suite de points de F.
Pour le reste Mr Oeil_de_Lynx a fé le nécessaire !!

Lotus_Bleu a écrit:

mathema a écrit:

....
Proposition:
" soit E et F deux ensembles on dit que F dense dans E si l'adhérence de F egale à E.
autrement dit F dense dans E s'il existe une suite d'elements de F qui converge vers E".........

Lut Lahoucine !!
Excuze mon inpertinence mais je kroi ke :
F est dense dans E
si tout élément x de E est limite d'une suite de points de F.
Pour le reste Mr Oeil_de_Lynx a fé le nécessaire !!

salut :
je crois que c'est ça que j'ai dis relire la phrase..!!!
___________________________________________________________
lahoucine @++

mathema a écrit:

.........salut :
je crois que c'est ça que j'ai dis relire la phrase..!!! ....

Tan pis pour toi Lahoucine si té têtu !
Mr Madani ta signalé la même chose ! On est deux mnt donk y a problème !!????

Je reviens à la continuité de f ke t a pas su faire du tout !!!!!!!!!!
Il suffit de vwar la continuité de f en ZERO .
f étan strictement croissante alors elle admet une limite à droite et une limite à gauche kan x---->0 x<>0 et on a :
f(0-)<=f(0)=0<=f(0+)
en outre f(0-)=Sup { f(x) , x<0} et
f(0+)=Inf { f(x) , x>0 }

Jvé montrer par exemple que 0=f(0+) , pour l’autre 0=f(0-) ce sera une démo analogue.
Suppozons que 0<f(0+) alors il existe un RATIONNEL r entre 0 et f(0+)
0<r<f(0+) et puisque r>0 alors f(r)=r>=f(0+) par définition de f(0+)
Ainsi on a à la fois r<f(0+) et f(0+)<=r Ce ki est absurde !!!
On démontre de même ke 0=f(0-) et donc f(0-)=f(0)=f(0+)
D’où la kontinuité de f au point ZERO .

<P>salut Lotus:</P>
<P>je crois qu c'est une réponse treees classique et trivial tu as juste utiliser la densité de Q dans IR.</P>
<P>ça c'est facile à démontrer.</P>
<P>et si tu vois c'est la meme chose chose signalé par Mr LHASSANE.</P>
<P>et je suis trés DSL.</P>
<P>____________________________________________________</P>
<P>lahoucine @+-+</P>

salut autre fois ::
ce n'est difficile à moi de montrer tout cela bl3aks c'est trees facile mais je vois que ce n'est pas au niveau de 1BAC meme au TSM...
alors pour moi c'est pas un probleme de montrer certaines theo. ou propositions mais je respect certaine topic.
et pour bien aller loin dans notre sujet venons à la topic des sup ou de l'agregation pour laisser les 1BAC entre ils.
et merci :p
_______________________________________________________________
LaHoUcInE
@+-+

mathema a écrit:

salut autre fois .........
et pour bien aller loin dans notre sujet venons à la topic des sup ou de l'agregation pour laisser les 1BAC entre eux et elles .......

Oki Lahoucine !!
Je te renvoie ossi la même kestion ! Tu est en SMA Semestres 5&6 à Kech et tu réponds à des questions lycéennes de manière très approximative .... J' komprend pas !!!!! Tu devré être + rigoureux puiske té d'un nivo +fort ??
Dans le Salon Sup-Spés si tu ve !!!
Pas dans le Salon Agrég car sa n' m intéresse pas du tout à -ke tu prépares déjà ton Agrég !!??? Tu sé cé costaud ssa !!!!
Bon de+ , j'arrête la plaisanterie .....

c'est pas ça le probleme Lotus mais comme tu sais y'a pas des problemes qui ont plus chauds en niveau de discussion car ils posent des memes question au cours du temps et toujours le premier qui rentre qui réponds alors je poserai des exos dont je ne suis pas besoin au réponses mais pour mouver un peux la topic spé-sup ou l'agreagation...
et pour mon niveau c'est 3éme année c'est à dire la Licence (> DEUG)
et Merci bcp.
___________________________________________________________
LaHoUcInE
@