Equation fonctionnelle

Bonjour ! Je reviens sur le forum après un bref moment d'absence , je vous propose une eq.fct pas très dure mais qui demande un minimum de réflexion (j'éspère qu'elle n'a pas été postée avant cela) :

f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) cos (y) avec f qui va de IR dans IR !

slt!! Thami,heureux de te revoire au forum voilà que j'ai trouvé :

f(x)=a.sin(x) / a £IR
f(x)=a.cos(x) / a£IR
f(x)=0 !

je posterai la preuve ce soir incha2allah

Bien !! Mais tu pouvais tout simplement dire : pour tout x dans IR f(x)=acos(x) + bsin(x) ^^ après tu joues sur les constantes a et b comme tu veux !! J'attends ta démo !

slt!! voilà ma preuve:
f=0 est une solution triviale,donc on demontre pour f#0
on va etudier deux cas,f(0)=0 et f(0)#0
f(0)=0
pour x=0 on a:
f(y)+f(-y)=0==> f est impaire.
on va montrer par absurde que f est périodique par 2pi.
supposons que f n'est pas périodique.
pour y=x
f(2x)=2f(x).cos(x)
==>f(2x+4pi)=2f(x+2pi).cos(x), puisque f#0 alors:
f(x+4pi)/f(x+2pi) = f(2x)/f(x)
==>f(x+2pi)=k.f(x)/k£IN et f(x+4pi)=k.f(2x)
pour x=0
f(2pi)=0 et f(4pi)=0,en effet c'est f(2k'pi)=0 /k'£Z
on fait un changement de variable x par y et en remplacons x par 2pi.
==>f(y+2pi)+f(-y+2pi)=0 (f(2pi)=0)
l'imparité de f nous mène à:
y+2pi=-(-y+2pi)
==>2pi=-2pi et c'est FAUX.une contradiction,donc f est périodique,de période T=2pi.
tt les fonctions qui sont périodiques de 2pi et impaires sont f(x)=a.sin(x)/a£IR
pour le cas f(0)#0
on montre par absurde que f est paire.
supposons que f est impaire.
pour x=y:
f(2x)+f(0)=2f(x)cos(x)
notons f(0)=a
f(2x)=2f(x)cos(x)-a
pour x=pi/2
f(pi)=-a
pour x=-pi/2
f(-pi)=-a et c'est une contradiction puisque f est impaire.donc f est paire,on demotre que f est périodique de la meme facon mais cette fois on a f(0)=1.
donc les fonctions qui satisfaitent ces conditions sont: f(x)=a.cos(x)
CONCLUSION:
f(x)=0
f(x)=a.cosx
f(x)=a.sinx
sont solutions
j'espere avoir bien demontrer!!
PS:je veux bien voir ta demo Thami

Citation :

on montre par absurde que f est paire.
supposons que f est impaire.

si f n est pas impar cela n implique pas que f est pair.
c.exemple : g(x)=x²-x+1
g n est pas impair car g(-x)#-g(x) et cela n implique pas que g est pair
g(x)#g(-x)

oui mais f(-pi)=f(pi)=-a nn?

bon si tu veux une forte preuve de la parité voilà:
changement de variable:
<==>f(x+y)+f(y-x)=2cos(x)f(y)
pour x=0
f(y)+f(-y)=2cos(0)f(y)
f(y)+f(-y)=2f(y)

svp je veux une confirmation soit de Thami ou un autre membre expérimenté

salam

patience h99

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tu vas un peu trop vite

au début ...

pourquoi f(2x)/f(x) = k d'une part

pourqoi k€ IN d'autre part ..


et encore beaucoup de ?,,,,??,,,,,,,???,

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pour f(2x)/f(x)=k
si on a : a/b=c/d ==> a=kc et b=kd nn? c'est la meme.
pour k£IN quoi que ce soit ca n'a pas d'importance!!

quoi d'autres Mr??

pour moi
si f(o)=0

f(2x) = 2f(x) .cosx conduit à :

en se rappelant une fois : cosx.cos2x.cos4x = sin(8x)/8sinx

f(x) = f(x/2^n) .sinx / sin(x/2^n)

===> f(x)/sinx = f(x/2^n) /sin(x/2^n)

en divisant haut et bas par x/2^n

pour f dérivable en o :

f(x)/sinx = lim.......= f'(0) /1= A

====> f(x) = A.sinx

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mais pourquoi k est constant.??

Euh je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi Hamza (h99) quant à la parité de f (tu as du te tromper sur le calcul en prenant x=0 ) . Par contre j'avais pensé à une solution plus simple ^^ mais je l'ai dit au début , elle est assez astucieuse , je m'explique :

*1) En choisissant y=t et x=0 on obtient : f(t) + f(-t) = 2acos(t) (avec a=f(0) )
*2) Avec le choix : x= pi/2 +t et y = pi/2 on obient : f(t) + f(pi + t) =0
*3) Enfin avec cette fois ci x=pi/2 et y=pi/2+t on tombe sur f(t+pi) + f(-t)=2*f(pi/2)*cos(pi/2+t)= -2bsin(t) avec b=f(pi/2) .

En combinant les trois equations ((1)-(2)-(3) )on trouve aisément : f(t)=acos(t)+bsin(t)

Fin !!

congratulations!!!