Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

Je vais encore faciliter la tâche:
Si un polynôme de n degré a n+1 racines, il est forcément le polynôme nul.
Il ne reste que le calcul.

Je donne un autre délai.
Je poste la réponse demain.

Pour le premier exercice:
Il est facile de prouver que P(a)=P(b)=P(c)=1.
P est un polynôme de degré au plus deux, don en posant:
Q(x)=P(x)-1.
Q est alors un polynôme de degré au plus deux, admettant a,b, et c comme racines.
Q est donc forcément le polynôme nul:
Q(x)=0.
Finalement pour tout x de IR on a P(x)=1.
Il est facile, n'est-ce-pas?

J'attands vos réponses concernant le deuxième exercice.
Ainsi que votre suggestion sur le premier.

Vous dormez ou quoi?
Plus de 4 jours et il n'y a pas de réponse!!!!!!
Demain, si personne ne trouve la solution, l'exercice sera dépassé.
Et je vais donner un autre exercice si je ne trouve pas un.
Quelques suggestion:
Je pense que le polynôme cherché doit être du troisième degré.
Et il me semble qu'il faut l'image d'un autre nombre pour pouvoir trouvez P(x).
Que dites-vous?
P.S: Avant de vous quitter je vous annonce qu'il ne reste que 4 semaines pour les olympiades

Afin de ne pas gaspiller le temps, l'exercice change en ceux-ci:
Problème 1:
x et y sont deux élément de l'intervalle ]0;1[
Le nombre x+y-xy appartient-il à cette intervalle? Justifiez la réponse.
x et y sont deux élément de l'intervalle ]-1;1[
Le nombre(x+y)/(1+xy) appartient-il à cette intervalle? Justifiez la réponse.
Problème 2:
a et b sont deux réels tel que a^2+b^2=1.
Montrez que (V2)>=a+b>=(-V2).
Problème 3:
Déterminez n et p de IN tel que
(4^n)+65=p^2.
Bonne chance.
En attente de vos réponses et de vos défis.

nmo a écrit:

2/a et b sont deux réels tel que a^2+b^2=1.
Montrez que (V2)>=a+b>=(-V2).

On souhaite prouver que , ou du'ne manière équivalente,
Ce qui est trivial d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

a^2+b^2=1
Tu peux poser a=cosx et b=sinx
Et tu montre que pour toux de IR
|cosx+sinx|<=V2/2
Sinon :
on a :
|a+b|²/2<= a²+b²
Et on conclue

nmo a écrit:

1/x et y sont deux élément de l'intervalle ]-1;1[
Le nombre x+y-xy appartient-il à cette intervalle? Justifiez la réponse.
Même chose pour (x+y)/(1+xy).

n'appartient pas à l'intervalle indiqué, car il existe un contre-exemple : et
Maintenant pour :
On a et .
Donc : et
D'où

x+y-xy= x+y(1-x)
-1≤y≤1 et 0≤1-x
Donc
x-1≤y(1-x)≤1-x
2x-1≤x+y(1-x)≤1
-3≤2x-1≤x+y-xy≤1
x+y-xy £ ]-3,1[
Tu prend x=y=-2/3
x+y-xy=-4/3-4/9=-16/9<-1

-1≤(x+y)/(1+xy)≤1 <=>-1-xy≤x+y≤1+xy
<=> -1-2xy≤x+y-xy≤1
Ce qui est vrai

(4^n)+65=p^2.
n=2 p=9
p²-4^n=65 =>(p-2^n)(p+2^n)=65=5x13
p-2^n=5
p+2^n=13

p=18/2 et 2^n=8/2=4 =>p=9 et n=2

nmo a écrit:

3/Déterminez n et p de IN tel que
(4^n)+65=p^2.

Si , ça ne marche pas.
Si , ça ne marche pas.
Si , alors (n,p)= est l'unique solution.
Si , alors est l'unique solution.
Finalement, les seules solutions sont et

Il y a quelque chose qui ne marche pas dans les sujets de Dijkschneier car je ne vois rien.
Et par conséquent je ne peux dire ni vrai ni faux.

Sylphaen a écrit:

(4^n)+65=p^2.
n=2 p=9
p²-4^n=65 =>(p-2^n)(p+2^n)=65=5x13
p-2^n=5
p+2^n=13

p=18/2 et 2^n=8/2=4 =>p=9 et n=2

Tu as oublié le cas ou 65=65*1.

Sylphaen a écrit:

x+y-xy= x+y(1-x)
-1≤y≤1 et 0≤1-x
Donc
x-1≤y(1-x)≤1-x
2x-1≤x+y(1-x)≤1
-3≤2x-1≤x+y-xy≤1
x+y-xy £ ]-3,1[
Tu prend x=y=-2/3
x+y-xy=-4/3-4/9=-16/9<-1

-1≤(x+y)/(1+xy)≤1 <=>-1-xy≤x+y≤1+xy
<=> -1-2xy≤x+y-xy≤1
Ce qui est vrai

C'est faux car les deux nombres appartiennent à la même intervalle.

Sylphaen a écrit:

a^2+b^2=1
|a+b|²/2<= a²+b²
Et on conclue

Il faut le démontrer.

|a+b|²/2<= a²+b² <=> a²+b²+2ab<=2a²+2b²
<=>(a-b)²>=0
on a -2/3 £ ]-1,1[
e pour x=y=-2/3 on a:
x+y=-4/3
xy=4/9
x+y-xy=-4/3( 1 + 1/3) < -1 !!!!
Y'a pas une faute dans l'énoncé ??

nmo a écrit:

Afin de ne pas gaspiller le temps, l'exercice chage en ceux-ci:
1/x et y sont deux élément de l'intervalle ]0;1[
Le nombre x+y-xy appartient-il à cette intervalle? Justifiez la réponse.
x et y sont deux élément de l'intervalle ]-1;1[
Le nombre (x+y)/(1+xy) appartient-il à cette intervalle? Justifiez la réponse.
2/a et b sont deux réels tel que a^2+b^2=1.
Montrez que (V2)>=a+b>=(-V2).
3/Déterminez n et p de IN tel que
(4^n)+65=p^2.
En attente de vos réponses et de vos défis.

Désolé pour la faute.
C'est édité.
Poste ton exercice sylphaen.

(x+y-xy)=x+y(1-x)
On a 1-x>0 et 0<y<1
donc :
0<y(1-x)<1-x
0<x<x+y(1-x)<1
Et on conclue

Pour mieux écrire
*On a -1=<x=<1 et -1=<y=<1.
Donc 0=<1+x=<2 et 0<y+1<2.
Donc 0*0=<(1+x)*(1+y)=<2*2.
Donc 0=<1+x+xy+1=<4.==>(1)
D'autre part on a lxl=<1 et lyl=<1.
Donc lxyl=<1.
Donc -1=<xy=<1.
Donc 0=<1+xy=<2.==>(2)
Et 1/2 donne le résultat voulu.
Ce qui prouve qu'il apparient au même intervalle.
*Pour l'autre on a 0=<x=<1 et 0=<y=<1.
Donc -1=<x-1=<0 et -1=<-y=<0.
Donc 0=<-(x-1)=<1 et 0=<1-y=<1.
Donc 0*0=<-(x-1)*(1-y)=<1*1.
Donc 0=<-(x-1)(1-y)=<1.
Donc -1=<(x-1)(1-y)=<0.
Donc -1=<x+y-xy-1=<0.
Enfin 0=<x+y-xy=<1.
Ce qui prouve qu'il apparient au même intervalle.
Poste ton exercice sylphaen pourvu qu'il soit difficile.

MQ : L'équation :
(x-y)³+(y-z)³+(z-x)³=30
N'a pas de Solution dans Z³

salam,
indication: on prend X=x-y,Y=y-z,Z=z-x
et on remarque que X+Y+Z=0

Sylphaen a écrit:

MQ : L'équation :
(x-y)³+(y-z)³+(z-x)³=30
N'a pas de Solution dans Z³

Posons .
Par l'absurde, supposons que les entiers x,y et z existent, ou d'une manière équivalente, que a,b et c existent.
On a ainsi :
D'autre part, on a :

D'où :
Mais il n'existe pas d'entiers a,b et c telle que leur somme est nulle, et que abc=10.
Contradiction.
Le couple n'existe pas, donc n'existe pas.

@nmo : Mes anciens messages n'apparaissaient pas car il y avait un dysfonctionnement au niveau du parseur Latex ; désormais, ils sont bien visibles

nmo a écrit:

Pour mieux écrire
*On a -1=<x=<1 et -1=<y=<1.
Donc 0=<1+x=<2 et 0<y+1<2.
Donc 0*0=<(1+x)*(1+y)=<2*2.
Donc 0=<1+x+xy+1=<4.==>(1)
D'autre part on a lxl=<1 et lyl=<1.
Donc lxyl=<1.
Donc -1=<xy=<1.
Donc 0=<1+xy=<2.==>(2)
Et 1/2 donne le résultat voulu.
Ce qui prouve qu'il apparient au même intervalle.
*Pour l'autre on a 0=<x=<1 et 0=<y=<1.
Donc -1=<x-1=<0 et -1=<-y=<0.
Donc 0=<-(x-1)=<1 et 0=<1-y=<1.
Donc 0*0=<-(x-1)*(1-y)=<1*1.
Donc 0=<-(x-1)(1-y)=<1.
Donc -1=<(x-1)(1-y)=<0.
Donc -1=<x+y-xy-1=<0.
Enfin 0=<x+y-xy=<1.
Ce qui prouve qu'il apparient au même intervalle.
Poste ton exercice sylphaen pourvu qu'il soit difficile.

J'ai commi une grande erreur, je n'ai pas fait attention, je vais essayer de la rectifier après.

En attente de ton exercice Dijkschneier.
J'ai constaté que tes réponses sont tous justes.