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 Préparations aux olympiades de Terminale (2012)

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Mehdi.O
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MessageSujet: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 14:57

Comme son titre l'indique ce sujet est axé sur la préparation aux olympiades de Terminale, nous tâcherons durant ce topic de proposer des problèmes qui englobent les différents domaines des problèmes qui sont proposés aux olympiades à savoir l'Algèbre, l'Arithmétique, la géométrie, ainsi que la combinatoire.
Les règles de ce jeu ne sortent pas du lot :
- Numéroter les problèmes.
- Indiquer le niveau de difficulté des problèmes proposés ( par des étoiles )
- Ne pas proposer de problèmes arbitrairement, et ne pas en proposer avant de résoudre les autres problèmes.
- Si 48h s'écoulent sans que le problème courant soit résolu, celui qui a proposé le problème doit en donner une solution.
- Celui qui résout un problème en propose directement un autre, ou bien qu'il laisse la main aux autres pour en proposer.
- Mettre les solutions en spoiler.
- Il serait préférable d'utiliser le Latex pour rédiger les solutions.
- En cas d'exercice de géométrie ou de combinatoire, il serait mieux d'attacher à la solution une figure.
- Et bien sûr, tâcher de maintenir le respect et l'ambiance entre forumistes Smile.

Ainsi, je commence par proposer cette EF facile pour inciter les gens à participer Very Happy.

Problème 1 :
Déterminer toutes les fonctions
Préparations aux olympiades de Terminale (2012) Dd69222246edd351f36700a3abe6a4aeaf28ce10 tel que :
Préparations aux olympiades de Terminale (2012) 768ba737e30e2b1294f3ce2d4d825fd1117a0fa7
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n.naoufal
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n.naoufal

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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 17:13

Classique, 2 substitutions le tue.
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 17:23

n.naoufal a écrit:
Classique, 2 substitutions le tue.
Merci de respecter les règles du jeu.
Soit poster une réponse complète et un nouveau problème, soit ne rien poster Wink.
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 17:27

Ma réponse pour problème 1:

Spoiler:
 

Problème 2:

Soient a et b deux réels tel que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) Gif et Préparations aux olympiades de Terminale (2012) Gif.

Montrer que quelque-soit les nombres Préparations aux olympiades de Terminale (2012) Gif.latex?x_1,x_2,. de l'intervalle [a,b] on a:

Préparations aux olympiades de Terminale (2012) Gif
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 17:51

Solution au problème 2:
Spoiler:
 

Je n'ai pas de problème à proposer actullement, libre à chacun d'en poster.
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 18:07

Problème 3:
Trouver toutes les fonctions réelles et continues g vérifiant : g(g(x))=2g(x)-x
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xyzakaria
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 20:06

Solution au problème 3:
bonjour,
on pose: g^n(x)=gogo...og(x) n fois
et on considere la suite : Un,x=g^n(x) si n>0,et U0,x=x
il est facile de voir que la suite Un-x est arithmetique (on utilisant la relation initiale)et que :
pour tt entier n on a: Un,x=n(g(x)-x)+x (a)
on suppose mnt qu'il existe b de IR tel que : g(b) est different de b
donc d'apres (a) est par passage de la limite on aura si on remplace x par b: Lim(Un,b)=infini.
or on a: U(n,b)-U(n-1,b)=g(b)-b donc Lim(U(n,b)-U(n-1,b))=g(b)-b
d'une autre part on a : g^n(x)=gog(g^(n-2)(x))=2g^(n-1)(x)-x
d'ou Un,x-Un-1,x=U(n-1,x)-x et par passage a la limite on se trouve absurde (g(b)-b=infini!!!!) par la suite il n existe aucun reel b tel que g(b) est different de b
donc pour tt x g(x)=x...reciproquement l identite est bien une solution de probleme.(sauf erreur)
j'ai pas de probleme a poste
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 20:21

Je pense que c'est faux. Sinon montre rigoureusement que la suite est arithmétique.
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xyzakaria
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 22:43

pour montrer que la suite est arithemetique il suffit de voir que : Un-Un-1=Un-1-Un-2 (on remplacant x par g^n-2(x)...,si non peux-tu me dire ou est la faute?
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 22:48

Tu as raison U_n-U_{n-1}=U_{n-1}-U_{n-2} mais ça ne veut en aucun cas dire que la suite est arithmétique Wink
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xyzakaria
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 22:54

et bah si Wink ,c'est une propriete qui caracterise les suite arithnetique tu peux revoir le cour des suites,il suffit de faire une petite sommation de n egalite .
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 23:34

Je répète que non car le terme n'est pas constant ...
C'est pour ça que je demande une démonstration rigoureuse et non il suffit de...
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xyzakaria
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 23:47

x est constant par rapport a n si on considere une suite parametre c est tout je trouve pas ou est le probleme!tu peux m expliquer ce que tu veux dire d une autre maniere
et pour la demo:
Un-Un-1=Un-1-Un-2
Un-1-Un-2=Un-2-Un-3
........
........
U2-U1=U1-U0
en sommant on aurra Un=Un-1+ U1-U0 !! est donc elle n est pas arithmetique maintenant ??
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMar 26 Juil 2011, 23:54

tu viens de démontrer qu'elle n'est pas arithmétique car ce que tu as écris présuppose que U_1 et U_0 sont constants ...
tout ce que tu auras , c'est g^n(x)-g^{n-1}(x)=g(x)-x.

Je te propose , au lieu de débattre pendant des heures , de rerédiger ta solution plus clairement et beaucoup plus rigoureusement. Car selon moi ce n'est pas la seule erreur.
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xyzakaria
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMer 27 Juil 2011, 00:03

x est un nombre constant par rapport a n et je sais bien que j ai pas bien rediger ma solution car j avais pas trop de temps en+ vais pas la repete une autre fois c est qd meme claire!!!
et on debat pas ici Smile et je suis desole si ma solution n est pas claire!
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMer 27 Juil 2011, 00:11

Sans t'offenser , ta solution n'est pas juste.
Essaye la fonction qui à x associe x+1 Wink Je ne voulais pas donner de fonctions qui réalise l'énoncé car c'est un indice de taille pour la solution ...
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xyzakaria
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMer 27 Juil 2011, 00:20

ok pour une seconde fois!
on a montrer queg^n(x)=n(g(x)-x)+x
on suppose mnt l existance d un reel b tel que g(b) different de b
g^n(b)=n(g(b)-b)+b==> lim(g^n(b))=infini
or on a ; g^n(b)-g^n-1(b)=g^n-1(b)-b par passage a la limite on se trouve absurde d ou g(b)=b pour tt b
j espere que c claire mnt,le fait de considerer Un c juste pour ne pas ecrire a chaque fois g^n....
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xyzakaria
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMer 27 Juil 2011, 00:22

j ai pas vu ton message et ta raison il ya une faute qq part car la fonction x-->x+1 verifie la relation. mais ou est la faute :p c pas moi qui pourrai la trouver ! :p
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMer 27 Juil 2011, 00:49

maintenant, peut quelqu'un proposer un nouveau problème ?
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expert_run
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMer 27 Juil 2011, 00:56

y a pas encore de solution.
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expert_run
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMer 27 Juil 2011, 01:05

Othmaann a écrit:
Problème 3:
Trouver toutes les fonctions réelles et continues g vérifiant : g(g(x))=2g(x)-x
Solution du problème3:
on a (g(g(x))-g(x))/(g(x)-x)=1
Donc g est une fonction affine qui convient la condition de continuité de la fonction g sur R
Alors g s'écrit sous la forme de g(x)=x+b et g(g(x))=g(x)+b=x+2b=2(g(x))-x
Donc g(x)=x+b avec b appartenant a R.
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az360
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az360

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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMer 27 Juil 2011, 01:16

Poste un problème je croix que c'est la bonne solution ...
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expert_run
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMer 27 Juil 2011, 01:37

Pour l'instant j'en ai aucun exercice intéressant vous pouvez poster.
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mr.mertasayeker
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMer 27 Juil 2011, 02:29

Autre Solution du P3:

Il est trivial de remarquer que la fonction g(x)=x+n tel que n est un paramètre réel est une solution à cette équation reste à prouver qu'elle la seule

Par absurde supposons que g(x)=/x+n (=/ veut dire différent de)

On sait que si x<y alors g(g(x))<g(g(y))
donc selon la relation 2g(x)+y<2g(y)+x
alors on a 2g(x)+x<2g(x)+y<2g(y)+x donc g(x)<g(y)
alors g est strictement croissante d'où on déduit l'existence de la fonction g^(-1)(x) pour tous x de Dg

à l'aide de l'asseration P(g^(-1)(x)) on trouve que g(x)+g^(-1)(x)=2x pour tous x de Dg

pour tous x de Dg g(x)=/x+n équivaut g(x)=x+n+p tel que p est un réel non nul et non constant car s'il l'est on revient g(x)=x+m tel que m est un paramètre réel
alors g^(-1)(x)=/x-n-p donc g(x)+g^(-1)(x)=/2x ce qui se contredit avec le fait que g(x)+g^(-1)(x)=2x

CQFD (sauf erreur)
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expert_run
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) EmptyMer 27 Juil 2011, 02:37

mr.mertasayeker a écrit:
Autre Solution du P3:

Il est trivial de remarquer que la fonction g(x)=x+n tel que n est un paramètre réel est une solution à cette équation reste à prouver qu'elle la seule

Par absurde supposons que g(x)=/x+n (=/ veut dire différent de)

On sait que si x<y alors g(g(x))<g(g(y))
donc selon la relation 2g(x)+y<2g(y)+x
alors on a 2g(x)+x<2g(x)+y<2g(y)+x donc g(x)<g(y)
alors g est strictement croissante d'où on déduit l'existence de la fonction g^(-1)(x) pour tous x de Dg

à l'aide de l'asseration P(g^(-1)(x)) on trouve que g(x)+g^(-1)(x)=2x pour tous x de Dg

pour tous x de Dg g(x)=/x+n équivaut g(x)=x+n+p tel que p est un réel non nul et non constant car s'il l'est on revient g(x)=x+m tel que m est un paramètre réel
alors g^(-1)(x)=/x-n-p donc g(x)+g^(-1)(x)=/2x ce qui se contredit avec le fait que g(x)+g^(-1)(x)=2x

CQFD (sauf erreur)
Comment t'a trouvé ce qui est en rouge.
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) Empty

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