Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

Dijkschneier a écrit:

nmo a écrit:

Belle tentative, mais A est naturel.

En effet.
Mauvais calcul.
Je reprends donc : A^3 = 27 [4/3 + 3*(A/3)*7/27 ] = 36 + 7A.
Cela vient de l'identité : (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3(a+b)ab.
Cette équation a une seule racine réelle qui est 4.
Donc A=4, c'est un entier.

Bien, je vais le faire avec une autre methode tout de suite.

nmo a écrit:

Bon, je vous propose cet exercice:
Est-ce-que le nombre suivant est un entier?
.
Bonne chance.

Posons tout d'abord , et simplifions-le.
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
De même .
Du fait, .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Ce qui confirme la solution de Dijkschneier.

nmo a écrit:

Je n'ai pas bien lu ce que tu écris, je te dis la même chose que Dijkschneier: Essaie de nouveau car A est naturel.

J'ai passé vitement, mais bon je n'ai pas croyé çelà ! voilà:




De méme:

D'ou:


De méme: http://latex.codecogs.com Décone.

M.Marjani a écrit:

Je n'ai pas croyé à ça avant, nmo ! Bon voilà:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{2}{3}-\frac{41}{81}*\sqrt{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]{162-41\sqrt{15}}}{3*3^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{9}(6-\sqrt{15})[/img]
De méme: [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{2}{3}+\frac{41}{81}*\sqrt{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]{162+41\sqrt{15}}}{3*3^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{9}(6+\sqrt{15})[/img]
D'ou:

Laisse tomber, c'est mon travail.
En plus, Ton latex est illisible.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Je n'ai pas croyé à ça avant, nmo ! Bon voilà:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{2}{3}-\frac{41}{81}*\sqrt{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]{162-41\sqrt{15}}}{3*3^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{9}(6-\sqrt{15})[/img]
De méme: [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{2}{3}+\frac{41}{81}*\sqrt{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]{162+41\sqrt{15}}}{3*3^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{9}(6+\sqrt{15})[/img]
D'ou:

Ton latex est illisible.

Codecogs déconne ...

nmo a écrit:

On demande la réciproque, ce que tu as fait est le contraire.

On peut faire les deux. Ce qui est important qu'elle est démontrer. Si j'avais du temps je vais essayer avec la réciproque.

(Je te rappelle que ce n'est pas du façile dans les deux sens ).

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Je n'ai pas croyé à ça avant, nmo ! Bon voilà:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{2}{3}-\frac{41}{81}*\sqrt{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]{162-41\sqrt{15}}}{3*3^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{9}(6-\sqrt{15})[/img]
De méme: [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{2}{3}+\frac{41}{81}*\sqrt{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]{162+41\sqrt{15}}}{3*3^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{9}(6+\sqrt{15})[/img]
D'ou:

Ton latex est illisible.

Codecogs déconne ...

nmo a écrit:

On demande la réciproque, ce que tu as fait est le contraire.

On peut faire les deux. Ce qui est important qu'elle est démontrer. Si j'avais du temps je vais essayer avec la réciproque.
(Je te rappelle que ce n'est pas du façile dans les deux sens ).

La voie que tu as pris pour l'exercice proposé par Dijkschneier est facile.
La réciproque est rude.
Codegods ne déconne pas, mais les acollades n'apparaissent pas même avant.
Maintenant, je vais réflichir pour les deux exercices sans solution.

nmo a écrit:

On peut faire les deux. Ce qui est important qu'elle est démontrer. Si j'avais du temps je vais essayer avec la réciproque.
(Je te rappelle que ce n'est pas du façile dans les deux sens ).
La voie que tu as pris pour l'exercice proposé par Dijkschneier est facile.
La réciproque est rude.Codegods ne déconne pas, mais les acollades n'apparaissent pas même avant.
Maintenant, je vais réflichir pour les deux exercices sans solution.

La démonstration qui est façile. Mais pouvoir crée l'idée est difficile cher nmo.
Peut-étre que çelà changera ton idée sur la réciproque:

La réciproque:

L'idée: Il suffit de démontrer que ABCD est un trapéze. Avec: 2MN = AB+CD ; AM=MD ; BN=CN

Démo: A toi de jouer ^^

J'essaye plus tard.

nmo a écrit:

La réciproque est rude.

Pas tellement.

nmo a écrit:

Maintenant, je vais réflichir pour les deux exercices sans solution.

Lesquels ? Je n'en vois qu'un.

Dijkschneier a écrit:

nmo a écrit:

La réciproque est rude.

Pas tellement.

nmo a écrit:

Maintenant, je vais réflichir pour les deux exercices sans solution.

Lesquels ? Je n'en vois qu'un.

En plus du tien, il reste celui-là:

M.Marjani a écrit:

Probléme:
Déterminer tous les couples (x,y) d'entiers relatifs tels que:

Dijkschneier a écrit:

Problème :
Soient M et N les milieux respectifs des segments [AD] et [BC] d'un quadrilatère ABCD. Si 2MN = AB+CD, montrer que (AB) // (CD).

Reportons le plan au repère .
On a d'emblée , , et .
Posons .
On a M le milieu de [AD].
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
De même, on trouve que .
Et on a .
Donc .
Donc .
Donc .==>(1)
D'autre part, on a .
Et .
Donc .
Donc .
Et par suite, .
Donc .==>(2)
De 1 et 2, on trouve que .
On a maintenant .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Et puisque AB.DC se diffère de 0, alors .
Et on sait que .
Donc .
Donc tel que k est un entier.
Donc, les deux vecteurs et sont colinéaires.
Donc les droites (AB) et (DC) sont parallèles.
CQFD.

Oui nmo, mais c'était pas nécessaire de passer par le calcul analytique.

Dijkschneier a écrit:

Problème :
Soient M et N les milieux respectifs des segments [AD] et [BC] d'un quadrilatère ABCD. Si 2MN = AB+CD, montrer que (AB) // (CD).

Solution alternative :
Soit O le milieu de [AC].
Dans le triangle ADC, M et O sont respectivement les milieux de [AD] et de [AC]. Selon le théorème de Thalès, 2OM = DC.
Dans le triangle ABC, O et N sont respectivement les milieux de [AC] et de [BC]. Selon le théorème de Thalès, 2ON = AB.
Par somme : 2(OM+ON)=DC+AB. Mais puisque DC+AB=2MN, alors par transitivité de la relation d'égalité, on a OM+ON=MN. Cela veut dire que O appartient à [MN].
Maintenant, dans le triangle ADC, M et O sont respectivement les milieux de [AD] et [AC]. Selon le théorème de Thalès, (OM)//(DC)). Or (OM)=(MN), donc (MN)//(DC).
Et de même en considérant le triangle ABC : (MN)//(AB)
Par transitivité de la relation de parallélisme, il vient que (AB)//(DC).

M.Marjani a écrit:

Probléme:
Déterminer tous les couples (x,y) d'entiers relatifs tels que:

Posons a=x+4.
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Le premier cas: et .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Ainsi les deux couples et sont solutions au problème.
Le second cas: et .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Ainsi les deux couples et sont solutions au problème.
Le troisième cas: et .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Ainsi les deux couples et sont solutions au problème.
Le quatrième cas: et .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Ce qui contredit le fait que a est entier.
Le cinquième cas: et .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Ainsi les deux couples et sont solutions au problème.
Le dernier cas: et .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Ce qui contredit le fait que a est entier.
Synthèse:
Soit S l'ensemble des solutions du problème:
.
Et c'est fini, sauf erreur.

Dijkschneier a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Problème :
Soient M et N les milieux respectifs des segments [AD] et [BC] d'un quadrilatère ABCD. Si 2MN = AB+CD, montrer que (AB) // (CD).

Solution alternative :
Soit O le milieu de [AC].
Dans le triangle ADC, M et O sont respectivement les milieux de [AD] et de [AC]. Selon le théorème de Thalès, 2OM = DC.
Dans le triangle ABC, O et N sont respectivement les milieux de [AC] et de [BC]. Selon le théorème de Thalès, 2ON = AB.
Par somme : 2(OM+ON)=DC+AB. Mais puisque DC+AB=2MN, alors par transitivité de la relation d'égalité, on a OM+ON=MN. Cela veut dire que O appartient à [MN].
Maintenant, dans le triangle ADC, M et O sont respectivement les milieux de [AD] et [AC]. Selon le théorème de Thalès, (OM)//(DC)). Or (OM)=(MN), donc (MN)//(DC).
Et de même en considérant le triangle ABC : (MN)//(AB)
Par transitivité de la relation de parallélisme, il vient que (AB)//(DC).

Vraiment, c'est du bon travail.

Je vous propose cet exercice:
x, y, et z sont des réels positifs, tel que x+y+z=3.
Déterminer la valeur minimale que peut atteindre l'expression A:
.
Bonne chance.

Un exercice de plus:
Determinez les deux solutions de l'équation pour que A atteint sa valeur minimale:
.
Bonne chance.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Probléme:
Déterminer tous les couples (x,y) d'entiers relatifs tels que:

Posons a=x+4.
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Le premier cas: et .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Ainsi les deux couples et sont solutions au problème.
Le second cas: et .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Ainsi les deux couples et sont solutions au problème.
Le troisième cas: et .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Ainsi les deux couples et sont solutions au problème.
Le quatrième cas: et .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Ce qui contredit le fait que a est entier.
Le cinquième cas: et .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Ainsi les deux couples et sont solutions au problème.
Le dernier cas: et .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Ce qui contredit le fait que a est entier.
Synthèse:
Soit S l'ensemble des solutions du problème:
.
Et c'est fini, sauf erreur.

Un bon travaille. Bravo !
Mais t'as raté quelques couples: {(-4,-12) ; (-4,12)}
T'as fais une faute de frappe également: (1, 12) et (1, -12) au lieu de (-1, 12) et (1, 12).

Solution proposé:



PS: J'avais une autre methode trés façile avec le déscriment (trés arithmétique) belle qui donne (0,0) et les 9 solutions: y²=36a² (Aprés simplification + Discrément +.. on aura: a=0 ou 2x=<a^4)
Et: tx=-6(3+a²V(t)) Ou tx=-6(3-a²V(t)) Avec t=(x+8 )²+23 , et happe..

nmo a écrit:

Je vous propose cet exercice:
x, y, et z sont des réels positifs, tel que x+y+z=3.
Déterminer la valeur minimale que peut atteindre l'expression A:
.
Bonne chance.

Ma Solution:

Par IAG:

Une autre IAG sur (x+yz) , (y+xz) et (z+xy) donne:

(1)

Par la symétrie des roles, on suppose x>=y>=z et appliquant Chebyshev:



Alors (1) devient inférieur ou égale à Donc:


Le résultat est clair: Min(A)=3/2.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Je vous propose cet exercice:
x, y, et z sont des réels positifs, tel que x+y+z=3.
Déterminer la valeur minimale que peut atteindre l'expression A:
.
Bonne chance.

Ma Solution:
Par IAG:
Une autre IAG sur (x+yz) , (y+xz) et (z+xy) donne:

(1)
Par la symétrie des roles, on suppose x>=y>=z et appliquant Chebyshev:

Alors (1) devient inférieur ou égale à Donc:

Le résultat est clair: Min(A)=3/2.

Tu as commencé bien, mais tu as mal clôturer ta preuve:
Il te faut la condition xyz>=1, ce qui est faux.
Essaie autrement.

@nmo: Oui, c'est vrai, la derniére phase est erroné. Mais il y avait une error dans l'énoncé, (x,y,z) sont supposé strictement positives.. Contre exemple: prendre x=y=0 et z=3. Ce qui est n'est pas définie. Ou bien, il faut dire qu'au plus l'un des variables est nulle ^^

Je reprend:

Je voullais juste utiliser des theorémes connus pour s'habituer, et pour leur utilités de ce sujet.. Sinon je peux procéder comme suit:

Solution:

* x+y+z=3 => 2(xy+yz+xz)=9-(x²+y²+z²) , on sait par IAG que: x²+y²+z² >= xy+yz+xz d'ou 2(xy+yz+xz)+xy+yz+xz =< 9 Alors on a: xy+yz+xz =< 3.

* Maintenant j'ai remarqué qu'il suffit de démontrer que: (1)

* On a:

* Alors en emplyant le sigma cyclic, on aura: Ce qui est vrai car

* Par l'AM-HM (Qui est un cas particulier de C.S et prouvable par AM-GM) et en posant:

et et et et et

On aura cette inégalité qui est connu:

Donc:

(1) Permet de dire que Atteint pour

CQFD..

nmo a écrit:

Un exercice de plus:
Determinez les deux solutions de l'équation pour que A atteint sa valeur minimale:
.
Bonne chance.

Voilà ma tentative :


Sauf erreur et bonne chance

nmo a écrit:

Je vous propose cet exercice:
x, y, et z sont des réels positifs, tel que x+y+z=3.
Déterminer la valeur minimale que peut atteindre l'expression A:
.
Bonne chance.

Ma solution

Bonne continuation

tarask a écrit:

nmo a écrit:

Un exercice de plus:
Determinez les deux solutions de l'équation pour que A atteint sa valeur minimale:
.
Bonne chance.

Voilà ma tentative :

Sauf erreur et bonne chance

Juste une faute de calcul: c'est -1/8 au lieu de 1/8 à la fin.
Dans ce cas, l'équation n'admet pas de solution.
Et on met fin à l'exercice.

M.Marjani a écrit:

@nmo: Oui, c'est vrai, la derniére phase est erroné. Mais il y avait une error dans l'énoncé, (x,y,z) sont supposé strictement positives.. Contre exemple: prendre x=y=0 et z=3. Ce qui est n'est pas définie. Ou bien, il faut dire qu'au plus l'un des variables est nulle ^^
Je reprend:
Je voullais juste utiliser des theorémes connus pour s'habituer, et pour leur utilités de ce sujet.. Sinon je peux procéder comme suit:
Solution:
* x+y+z=3 => 2(xy+yz+xz)=9-(x²+y²+z²) , on sait par IAG que: x²+y²+z² >= xy+yz+xz d'ou 2(xy+yz+xz)+xy+yz+xz =< 9 Alors on a: xy+yz+xz =< 3.
* Maintenant j'ai remarqué qu'il suffit de démontrer que: (1)
* On a:
* Alors en emplyant le sigma cyclic, on aura: Ce qui est vrai car
* Par l'AM-HM (Qui est un cas particulier de C.S et prouvable par AM-GM) et en posant:
et et et et et
On aura cette inégalité qui est connu:
Donc:
(1) Permet de dire que Atteint pour
CQFD..

Tu n'a pas bien démontré la relation (1).
Je vais présenter une autre methode maintenant.

nmo a écrit:

Je vous propose cet exercice:
x, y, et z sont des réels positifs, tel que x+y+z=3.
Déterminer la valeur minimale que peut atteindre l'expression A:
.
Bonne chance.

On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
D'autre part, selon IAG, on a .
Donc .
De même, .
Et .
Soit en sommant, .
Donc .
Donc .
Donc .==>(1)
D'autre part, selon IAG, on a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .==>(2)
De 1 et 2, on déduit que .
Donc .
Donc .
Ce qui met fin à la démonstration.
L'égalité aura lieu si et seulement si x=y=z=1.