Olympiodiose

correct houssam ...à toi de poster un exo!!!!

MErci Majoudline c un joli exercice il ma pris du temps ^^
bon PROBLEM proposé
a,b,c>0

Montrer Algébriquement et sans théorémes cela

regarde ici:

https://mathsmaroc.jeun.fr/inegalites-f2/inegalite1a-t14970.htm

oué merci pour le lien PErelman dabord (ke jé déja vu ^^)

cela est un jeu et jé donné une conditon pour résoudre cet exo (sans théoremes et algébriquement!!)
merci pour l'intervention !!

Re dsl j'ai oublier le ² , j'ai trouvé une autre pour montrer que f(0)=0 mais ta solution Houssam est suffisante ^^

Solution :


on a l'inégalité équivalente à :

V(a²+b²-ab) + 2V(b²+c²-bc) >= V(a²+c²+ac) + V(b²+c²-bc)

(a²+b²-ab)+4(b²+c²-bc)+4V(a²+b²-ab)(b²+c²-bc) >= a²+c²+ac+b²+c²-bc+2V(a²+c²+ac)(b²+c²-bc)

il est tres facile de montrer que :

a²+c²+ac+b²+c²-bc >= 2V(a²+c²+ac)(b²+c²-bc)

et que : 4V(a²+b²-ab)(b²+c²-bc) >= b²+ ab+bc+ac

donc il suffit de prouver que :

3b² >= a²+ac+ab

sans nuire la généralité du probleme on suppose que b >= a et b>= c

donc b²>= a² , b²>= ac , b²>= ab

en sommant on trouve le résultat désiré

je crois samix que t’as pas le droit de supposer que b=max{a,b,c}…
en effet…si on le fait ça devient trivial :
-a>-b<=>-ab>-b² <=>a²+b²-ab>a²<=>V(a²+b²-ab)>a
-c>-b<=>-cb>-b²<=>b²+c²-cb>c²<=>V(b²+c²-bc)>c
En sommant on trouve que
V(a²+b²-ab) + V(b²+c²-bc) >=a+c>V(a²+c²+ac)
P.S. la non permission de cette considération vient du fait que les variables ne jouent ni un rôle symétrique ni cyclique.....

samix a écrit:

Solution :


on a l'inégalité équivalente à :

V(a²+b²-ab) + 2V(b²+c²-bc) >= V(a²+c²+ac) + V(b²+c²-bc)

(a²+b²-ab)+4(b²+c²-bc)+4V(a²+b²-ab)(b²+c²-bc) >= a²+c²+ac+b²+c²-bc+2V(a²+c²+ac)(b²+c²-bc)

il est tres facile de montrer que :

a²+c²+ac+b²+c²-bc >= 2V(a²+c²+ac)(b²+c²-bc)


et que : 4V(a²+b²-ab)(b²+c²-bc) >= b²+ ab+bc+ac

donc il suffit de prouver que :

3b² >= a²+ac+ab

sans nuire la généralité du probleme on suppose que b >= a et b>= c
donc b²>= a² , b²>= ac , b²>= ab

en sommant on trouve le résultat désiré

bonsoir !!
jé po compris ckyé en rouge
en cki concerne ta considération je vois ke c po valable un simple controexemple peu te la démontrer
b=1 a=2 c=1

houssam...je crois que ce qui est en rouge est vraiment facile à prouver:
4(a²+b²-ab)>=(a+b)² (vaut mieux de ne pas expliquer des choses triviales)
4(b²+c²-bc)>=(b+c)²(aussi sans explication)
en mutlipliant les deux inégalités on trouve que :
16(a²+b²-ab)(b²+c²-bc)>=(a+b)²(b+c)²
<=>4V(a²+b²-ab)(b²+c²-bc) >=(a+b)(b+c)=b²+ab+bc+ca
la seule erreur commise par samix est l considération b=max{a,b,c}....

Oui je vois!!
cété le juguement de 1ere vue !!
MErci qd meme !!

on devlevant on trouve ala fin 3(ab-bc-ac)²

nn je crois qu'à la fin on trouve (ab+bc-ca)²>=0

solution du problème proposé:
on fait le carré...l'inégalité équivaut à:
2V[(b²+c²-bc)(a²+b²-ab)]>=ab+bc+ca-2b²
encore le carré:
4(b²+c²-bc)(a²+b²-ab)>=(ab+bc+ca-2b²)²
<=>3a²b²+3b²c²+3a²c²+6ab²c>=6a²bc+6abc² (juste le développement+calculs)
<=>a²b²+b²c²+a²c²+2ab²c>=2a²bc+2abc²
<=>(ab+bc-ac)²>=0
ce qui est tjs vrai.....
sauf erreur....

Oui correct ... (c chaud les calculs ^^)

poste ton exo..

vasy postez le suivant...

on peut mq:
avec am.gm

ya qq pour mq
avec AM.GM,?

D'où :


en sommant on trouve le résultat voulu.

problème proposé:
trouver tous les couples (m,n) d'entiers naturels qui satisfont l'équation:
(m+n)⁴=m²n²+m²+n²+6mn
P.S.dsl de proposer un problème si facile....car j'ai pas un grand choix d'exos....

(m+n)4=m4+n4+6m²n²+4mn(m²+n²)

Si : m>1 et n>1 alors :
(m+n)4>m²+n²+6mn+m²n²

Psk : Si n>1 donc n4>n² et 6m²n²>6mn et
4mn(m²+n²)>m²+n²
Si : m<=1 où n<=1
Cas 1 :
m=1
L'équation devient :
n4+6n²+4n(n+1)+1=n²+6n+n²+1
n4+4n²+4n(n²+1)=6n
D'où : n=0
Car 4n(n²+1)>=4n.2n=8n²>=8n>=6n
Si m=0
L'équation devient :
n4=n²
n²(n²-1)=0
n²=1 ou n²=0
n=1 ou n=0

Alors :
S={(0.0)(0.1)(1.0)}

salut!!
on a (m+n)^4=m^4+n^4+6m²n²+4mn(m²+n²)

si m>=1 et n>=1
donc
m^4>=m² et n^4>=n²
et 4mn(m²+n²)>8mn (car m²+n²>2)
et 6m²n²>m²n²
donc m^4+n^4+4mn(m²+n²)+6m²n²>n²+m²+8mn+m²n²>n²+m²+6mn+m²n²
cky² absurde
donc n=0 ou m=0
si n=0
alors m^4=m²==> m=0 ou m=1
si m=0==> n^4=n²==>n=0ou n=1
S={(0.0);(1.0);(0.1)}

bonsoir ...
dsl pour le retard de la confirmation....je viens juste de lire vos solutions....
les deux sont correctes...mais Sylphaen etait le plus rapide...allez Sylphaen poste nous un exo

oué c sa poste ns un exo sylphaen !!
PS: tu dois réviser ton début !!

Trouvez tous les réels x,y,z tels que :
x²-yz=4
y²-zx=3
z²-xy=5

Salut c assez facile ...
Solution (sauf erreur!!
on a x²-y²-yz+zx=1
==> (x-y)(x+y+z)=1
et d'une autre part on a :
z²-x²-xy+yz=1
==>(z-x)(x+y+z)=1
donc z-x=x-y ==> (z+y)/2 =x
et aussi de meme on trouve
(z-y)(x+y+z)=2 (3)
apres on remplace dans le systeme et c facile !!
on aura
x²-yz=4==> (z+y)²/4 -yz=4 ==> z²+y²/4 -yz/2=4
==> z²+y²=16+2yz
==> z-y=4 ou z-y=-4
en remplaçant dans (3) ==> x+y+z=1/2 ==> 3(y+z)/2=1/2
==> y+z=1/3
donc 2z=4+1/3 ==> z=13/6
donc z-y=4 ==> y=-11/6
x=(y+z)/2 ==> x=1/6
et on fait de meme pour
y-z=4 on trouve les solutions siuvantes ;x=-1/6 y=11/6 ;z=-13/6
donc S={(1/6.-11/6.13/6);(-1/6.11/6.-13/6)}