Olympiodiose

Oui c'est bon !
Mais là t'a supposer x+y+z#0
Bon tu peux poster ton exo

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bonsoir
jé rien supposé ecar si x+y+z=0 donc 0=1...
cherchons du hard mnt avec cet exo d'arithmétique!!
PROBELme PRoposé
Trouver tous les couples (m,n) d"entiers strictement positifs tel que

soit entier

Enjoy

bonsoir...j'interviens donc....
je dirais que la solution proposée par houssam n'est pas complète....c'était un ancien probleme du grand jeu d'été...le lien:
https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/grand-jeu-d-ete-de-tc-premiere-t12891-660.htm
S={(1/6;-11/6;13/6),(-1/6;11/6;-13/6)}

bonsoir
oui c sa
la fuite ke jé fé dans la démonstration c ke jé fé (z-y)²=16==>z-y=4
et si on discute y-z=4 on aura la 2eme solution !!
faute d'innatention sa sera r&éctifié!
sinn vs voué ke je laisse lexo?!!

bonjour houssam....
je sais pas ...c'est à Sylphaen de choisir....soit il change son problème puisqu'il est deja posté...soit il accepte ta solution ...

Bon c'est pas grave ^^
On continue avec celui là :
Trouver les couples (m,n)...:

solution du problème :
prouvons que n et mn-1 sont premiers entre eux:
on a m*n-1*(mn-1)=1 donc ∃(x,y)∈Z² tel que xn+y(mn-1)=1
par Bézout on a donc pgcd(n,mn-1)=1
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soit
d'autre part on a :n³(m³+1)=(m³n³-1)+n³+1
divisons le tout par mn-1 on obtient:

or n et mn-1 sont premiers entre eux alors mn-1 divise m³+1
alors k est un entier si et seulement si (m³+1)/(mn-1) l'est.....
alors si (n,m) est une solution (m,n) est une solution aussi.....
m et n jouent donc un rôle symétrique supposons donc que m≥n...
mais :

alors k=na-1 (avec a £IN)
on a m≥n alors :

pour que le dénominateur ne soit pas nul...supposons que n≠1
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puisque n>1 alors a-1=0<=>a=1 d'où:
k=n-1<=>n³+1=(n-1)(mn-1) d'où :

alors n-1 divise 2 d'où n-1=1 ou n-1=2<=>n=2 ou n=3
en remplaçant n par ces deux valeurs dans
on trouve que n=2--->m=2 ou m=5 et que n=3---->m=5
d'où (n,m)=(2,2);(2,5);(3,5) et comme (m,n) sont aussi solutions :
(2,2);(2,5);(3,5);(5,2):(5,3) (1)
or on a oublié le cas où n=1
pour n=1 on trouve que m=2 ou m=3 d'où les couples de solutions:
(1,2);(2,1);(3,1);(1,3) (2)
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de (1) et (2) on a :
S={(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 2), (5, 3)}
sauf erreur....

salam!!
Oui correct Majdouline...
A toi ..

bonsoir à tous ...
problème proposé:
soient a,b et c des réels tels que ab,bc et ca sont des nombres rationnels....prouver l'existence des entiers x,y,z qui ne sont pas tous nuls sachant que :ax+by+cz=0
have fun

Bonsoir!!
On a pa bien compris ton Probléme Majdouline
si on prend a,b,c des entiers
on aura ab;bc;ac des entier ==> des nombres rationnels!
on va jamé trouvé un x,y,z dans ce cas tel que ax+by+cz=0

a,b,c c'est de réels pas des entiers ; donc ab , bc , ac sont pas forcément des rationnels , mais dans l'exo ils le sont ... Le truc c'est de prouver que quelque soit a,b,c des réels tel que ab , bc , ac sont rationnel alors il éxiste des nombres x,y,z tel que : ax + by + cz = 0

SAlut !
a,b,c entiers ==> a;b;c des réles

houssam110 a écrit:

Bonsoir!!
On a pa bien compris ton Probléme Majdouline
si on prend a,b,c des entiers
on aura ab;bc;ac des entier ==> des nombres rationnels!
on va jamé trouvé un x,y,z dans ce cas tel que ax+by+cz=0

si a,b et c sont des entiers
on peut trouver x y et z
il suffit de prendre x=b+c y=-a et z=-a
mais les gars...si je continue à expliquer je vais répondre au problème
P.S. je crois que la solution est bcp plus simple que vous imaginez!!!!

si on prends a,b,c des reel strict positives donc ax+by+cz#0

bonsoir !
Solution (sauf erreur)

soit (u,v,r,t,n,m¨) £ Z^6 et a;b;c #0
tel que
ab =u/v et ac=r/t et bc=n/m
bc/ac =nt/mr=b/a
bc/ab=nv/mu=c/a

donc on doit montrer lexistence de x;y;z tels que
ax+by+cz=0
<==> x+by/a +cz/a =0
<==> x+nty/mr +nvz/mu=0
<==> xmru+ntyu+nvzr=0
on peut prendre le cas de z=0 et x=nt et y=-mr
==>conclusion
si a ou b ou c=0
par symetrie soit a =0
donc on a comme solution
x=1 ;y=0;z=0
...

majdouline a écrit:

houssam110 a écrit:

Bonsoir!!
On a pa bien compris ton Probléme Majdouline
si on prend a,b,c des entiers
on aura ab;bc;ac des entier ==> des nombres rationnels!
on va jamé trouvé un x,y,z dans ce cas tel que ax+by+cz=0

si a,b et c sont des entiers
on peut trouver x y et z
il suffit de prendre x=b+c y=-a et z=-a
mais les gars...si je continue à expliquer je vais répondre au problème
P.S. je crois que la solution est bcp plus simple que vous imaginez!!!!

Pourriez vous prouver que : b+c # 0 ou -a # 0 afin de respecter la consigne?

Bonjour
psuike je seré occupé cette journée jvé poster un exo (si ma solution été fausse vs refuser léxo sélllé correct vs laccpeté)
PROBLEMe PRoposé
Résoudre dasn IR
4x²-40[x]+51=0
PS [] ==> partie entire

marouan777 a écrit:

si on prends a,b,c des reel strict positives donc ax+by+cz#0

marouan stp on parle pas de a b et c ..on parle de x y et z....

smash a écrit:

Pourriez vous prouver que : b+c # 0 ou -a # 0 afin de respecter la consigne?

lol ...élimine donc ce cas on fait la négation supposons que b+c=0 et a=0...
tu trouveras xb-yc=0 il suufit donc de prendre x=c et y=b
une fois ce cas est éliminé on suppose que b+c # 0 ou -a # 0 et on continue.....

salam....
la solution de houssam est correcte...cherchez sonc la solution de son exo !!!!!c'est un problème assez simple !!!

édité

Bonjour
solution fausse!..
contre exemple k=3 ==> x=V69/2
donc 4.69/4-40[V69/2]+51=0 ??

salam....
un problème assez simple est encore sans solution ....je poste donc ma solution
solution du problème:
première remarque [x] ne pet pas être négatif sinon 4x²-40[x]+51 est tjs strictement positif.....[x]>0<=>x£IR+
[x]+1>x≥[x]<=>4[x]²-32[x]+55>4x²-40[x]+51≥4[x]²-40[x]+51
<=>4[x]²-32[x]+51>0 et 4[x]²-40[x]+51≤0
pour :4[x]²-32[x]+55>0
delta=12² les deux racines sont [x]=11/2 ou [x]=5/2
puisque 4[x]²-32[x]+55>0 alors [x]∈]-00,2.5[∪]11/2,+00[
or [x]£IN alors [x]∈[0,2]∪[6,+00[ (1)
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pour 4[x]²-40[x]+51≤0
delta=28² les deux racines sont [x]=17/2 ou [x]=3/2
puisque 4[x]²-40[x]+51≤0 alors [x]∈[3/2,17/2]
or [x]£IN alors[x]∈[2,8] (2)
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de (1) et (2) on a :[x]∈[6,8]∪{2} d'où [x]=2 ou [x]=6 ou [x]=7 ou [x]=8
pour [x]=2 et en revenant à l'équation:4x²-40[x]+51=0
on trouve que x=V29/2
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pour [x]=6 et en revenant à l'équation:4x²-40[x]+51=0
on trouve que x=3V21/2
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pour[x]=7 et en revenant à l'équation:4x²-40[x]+51=0
on trouve que :x=V229/2
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pour [x]=8 et en revenant à l'équation:4x²-40[x]+51=0
on trouve que x=V269/2
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d'où S={V29/2,3V21/2,V229/2,V269/2}
sauf erreur.....

Salut Majdouline!!
IL te manque une solution ...

voilà houssam...une petite erreur de calcul...mais c'est rectifié maintenant ....