svp de l'aide !!

Montrer que :

P supérieur à 5 implique p carré et inferieur a 2 a la puissance p

Merci bcp !!

Bonjour.
Montrons le résultat à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
* On a :5^2<2^5 . Donc la propriété est vraie pour p=5.
*Soit p un entier naturel tel que p est supérieur ou égal à 5. Supposons que p^2<2^p et montrons que (p + 1)^2 < 2^(p+1).
On a :p^2<2^p ,donc 2.p^2<2^(p+1).
Or 2.p^2 -(p+1)^2 =p^2 -2.p -1 =p(p - 2) -1. De plus p(p-2) - 1 est supérieur ou égal à 14.
Donc 0<2.p^2 - (p+1)^2 .Soit (p+1)^2<2.p^2 .Par suite:(p+1)^2<2^(p+1).