endomorphisme

salut
E un K-ev
soit u,v dan L(E) tel que, qlqsoit f dans L(E) uofov=0

mq u=0 ou v=0

BSR jimbo !!

C'est par simple curiosité que j'interviens ....
Au point de vue Méthodologie , le raisonnement approprié serait , à mon avis , le Raisonnement par l'Absurde .

Supposer la Négation de la Conclusion revient à avoir l'existence de deux vecteurs a et b non nuls de E et tels que
u(a)<>0 et v(b)<>0
Maintenant , il existe DEUX BASES B1 et B2 de E telles que v(b) soit dans B1 et a dans B2
( utiliser le Théorème de la Base Incomplète deux fois avec pour systèmes libres {v(b)} et {a} . Ensuite , on sait qu’il existe au moins un endomorphisme f de E qui transforme v(b) en a et alors
{uofov}(b)=u(f(v(b))) =u(a) devrait être égal à O , ce qui est FAUX !!!

LHASSANE

supposez vous la dimension fini ?
le théorème de la base incomplète a pour hypothèse que l espace soit de dimension fini.

mouadpimp a écrit:

supposez vous la dimension fini ?
le théorème de la base incomplète a pour hypothèse que l espace soit de dimension fini.

BJR mouapimp !!

Peu importe ....
En Dimension Finie , c'est un résultat connu ...
Dans le cas contraire , c'est un peu plus compliqué , il faut utiliser un raisonnement basé sur l'Axiome du Choix et le Lemme de Zorn ..... Alors ne te tracasses pas , la Démo est plutôt corsée .....

Tu peux Wikipédier et voir .....cet extrait sur wikipédia :

<< Dans le cas général la première démonstration est due au mathématicien Georg Hamel, et repose nécessairement sur l'Axiome du Choix . La démonstration qui suit utilise le Lemme de ZORN , qui lui est équivalent. Elle consiste à construire la base recherchée comme une famille libre maximale ( ou une famille génératrice minimale ) . >>

LHASSANE